Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

En la entrada del instituto hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallos son 3 %, 5 % y 4 %, respectivamente. Un estudiante entra en el instituto y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?

b) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?

Nombramos los sucesos: $A$, $B$ y $C$, elegir cada una de las tres fotocopiadoras, y $D$, que la fotocopia salga defectuosa. Como la elección es al azar entre las tres máquinas, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$, y los porcentajes de fallo del enunciado son las probabilidades condicionadas de $D$. El árbol del experimento es:



$\textbf{a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?}$

Las tres máquinas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban sin fallo.

$P(\overline{D})=P(A)\,P(\overline{D}\mid A)+P(B)\,P(\overline{D}\mid B)+P(C)\,P(\overline{D}\mid C)$

$P(\overline{D})=\dfrac{1}{3}\cdot0{,}97+\dfrac{1}{3}\cdot0{,}95+\dfrac{1}{3}\cdot0{,}96=\dfrac{2{,}88}{3}$

$P(\overline{D})=0{,}96$

La probabilidad de fotocopiar sin fallos es $0{,}96$, es decir, un $96\%$.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?}$

Que la página sea defectuosa es el suceso contrario del anterior.

$P(D)=1-P(\overline{D})=1-0{,}96=0{,}04$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(B\mid D)=\dfrac{P(B)\cdot P(D\mid B)}{P(D)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot0{,}05}{0{,}04}=\dfrac{0{,}0166\overline{6}}{0{,}04}$

$P(B\mid D)=\dfrac{5}{12}\approx0{,}4167$

Sabiendo que la página ha salido defectuosa, la probabilidad de que se haya usado la fotocopiadora B es $\dfrac{5}{12}\approx0{,}4167$, es decir, un $41{,}67\%$: bastante más que el $33{,}33\%$ de partida, porque B es la que más falla.