Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Una baraja española está compuesta de 40 cartas, entre las que hay 4 ases. En un juego de azar dos jugadores compiten entre sí. El primer jugador baraja las cartas y las va sacando una a una hasta que encuentra un as. A continuación, el otro jugador vuelve a juntar todas las cartas y repite estos pasos (es decir, vuelve a barajar y va sacando cartas hasta encontrar un as). Gana el jugador que más cartas haya sacado (contando el as). Si ambos sacan el mismo número de cartas, entonces se produce un empate.

a) [1,5 puntos] Calcule las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.

b) [1 punto] Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?

Llamamos $A_i$ al suceso «la carta que ocupa el lugar $i$ es un as». Las cartas se sacan una a una y no se devuelven, de modo que en cada extracción hay una carta menos en la baraja y, mientras no haya salido ningún as, siguen quedando los cuatro. El experimento se detiene en cuanto sale el primer as, así que cada resultado es una cadena de fallos seguida de un acierto y su probabilidad se obtiene multiplicando por la regla del producto.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Calcule las probabilidades de que el as salga al sacar 1, 2 y 3 cartas, respectivamente.}$

Que el as salga al sacar una sola carta es que la primera carta ya sea un as.

$P(1)=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

Que salga al sacar dos cartas es que la primera no sea as y la segunda sí. Multiplicamos las probabilidades de la rama correspondiente.

$P(2)=\dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{4}{39}=\dfrac{144}{1560}=\dfrac{6}{65}\approx0{,}0923$

Y que salga al sacar tres cartas es que las dos primeras no sean ases y la tercera sí.

$P(3)=\dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{35}{39}\cdot\dfrac{4}{38}=\dfrac{5040}{59280}=\dfrac{21}{247}\approx0{,}0850$

Las probabilidades pedidas son $0{,}1$, $0{,}0923$ y $0{,}0850$, respectivamente: cuantas más cartas hay que sacar, menos probable es el resultado.

$\textbf{b) [1 punto] Si el primer jugador ha sacado dos cartas (contando el as), ¿cuál es la probabilidad de que el segundo jugador le gane?}$

El segundo jugador gana si saca más cartas que el primero, es decir, si necesita tres cartas o más para encontrar su as. Ese suceso es el contrario de necesitar una o dos, que ya están calculadas en el apartado anterior.

$P(\text{gana el segundo})=1-P(1)-P(2)=1-\dfrac{1}{10}-\dfrac{6}{65}$

$P(\text{gana el segundo})=1-\dfrac{13}{130}-\dfrac{12}{130}=1-\dfrac{25}{130}=1-\dfrac{5}{26}=\dfrac{21}{26}$

La probabilidad de que el segundo jugador gane es $\dfrac{21}{26}\approx0{,}8077$, es decir, un $80{,}77\%$: sacar solo dos cartas deja al primer jugador en muy mala posición.