Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2026

La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa, en unidades SI, viene dada por:

$y(x,t)=\mathrm{0,01}\mathrm{sen}(100t-10x)$

a) Determine el sentido de propagación, la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de propagación de la onda. [1,5 puntos]

b) Calcule la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto $x=0$ m en el instante $t=1$ s. [0,5 puntos]

c) Calcule la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados 1 m. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que viaja por una cuerda.

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx)⟹A=\mathrm{0,01}\text{ m},\omega =100\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1},k=10\text{ rad}\cdot {\text{m}}^{-1}$

Los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos, lo que indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$. La amplitud es el factor que multiplica al seno.

De la constante de propagación sale la longitud de onda y de la pulsación, la frecuencia.

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{10}}=\mathrm{0,628}\text{ m}$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{100}{2\pi }}=\mathrm{15,9}\text{ Hz},T={\displaystyle \frac{1}{f}}=\mathrm{0,0628}\text{ s}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{100}{10}}=10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Se comprueba con $v=\lambda f=\mathrm{0,628}\cdot \mathrm{15,9}=10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

La onda se propaga hacia las $x$ positivas con amplitud $\mathrm{0,01}\text{ m}$, longitud de onda $\mathrm{0,628}\text{ m}$, frecuencia $\mathrm{15,9}\text{ Hz}$, periodo $\mathrm{0,0628}\text{ s}$ y velocidad $10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.



La velocidad de oscilación es la de cada punto de la cuerda en su vaivén transversal, y no debe confundirse con la de propagación: se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo.

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=\mathrm{0,01}\cdot 100\cos (100t-10x)=1\cdot \cos (100t-10x)$

Sustituimos las coordenadas pedidas, con el argumento en radianes.

$v_y(0,1)=\cos (100)=\mathrm{0,862}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

En ese instante el punto $x=0$ sube a $\mathrm{0,862}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, valor bastante próximo al máximo posible, que es $A\omega =1\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{instante,}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un mismo instante la fase solo depende de la posición a través del término $-kx$, de modo que la diferencia de fase entre dos puntos es proporcional a su separación.

$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{\mid }-k\mathrm{\Delta }x\mathrm{\mid }=k\mathrm{\Delta }x=10\cdot 1=10\text{ rad}$

Si se prefiere el valor reducido a una vuelta, basta restar $2\pi$.

$\mathrm{\Delta }\phi =10-2\pi =\mathrm{3,72}\text{ rad}$

Los dos puntos oscilan desfasados $10\text{ rad}$, equivalentes a $\mathrm{3,72}\text{ rad}$ dentro de un mismo ciclo; no están en fase, cosa que solo ocurriría si la separación fuese un múltiplo entero de $\lambda =\mathrm{0,628}\text{ m}$.