Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas II · 2026

Tenemos 3 cajas (caja A, caja B y caja C) y bolas rojas o blancas. La caja A contiene 10 bolas, de las cuales 4 son blancas. La caja B contiene 6 bolas, de las cuales solo una es blanca. La caja C contiene 3 bolas blancas en un total de 8 bolas. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que, al sacar al azar una bola de cualquiera de las cajas, esta sea blanca. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una bola blanca, pertenezca a la caja B. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de que, sacando al azar dos bolas de las cajas A o B, se obtengan dos bolas blancas. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que, al sacar al azar una bola de cualquiera de las cajas, esta sea blanca. [0,5 puntos]}$

Sacar la bola «de cualquiera de las cajas» significa elegir primero una caja al azar, y las tres son igual de probables. Anotamos las proporciones de blancas de cada una.

$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$

$P(Bl/A)=\dfrac{4}{10},\qquad P(Bl/B)=\dfrac{1}{6},\qquad P(Bl/C)=\dfrac{3}{8}$



Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en bola blanca.

$P(Bl)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4}{10}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{48+20+45}{120}\right)=\dfrac{113}{360}$

La probabilidad de sacar bola blanca es $\frac{113}{360}\approx0{,}3139$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una bola blanca, pertenezca a la caja B. [1 punto]}$

Ahora el suceso conocido es el final de la cadena y el que se pregunta es el principio, así que se trata de una probabilidad a posteriori: aplicamos el teorema de Bayes con el denominador que acabamos de calcular.

$P(B/Bl)=\dfrac{P(B)\cdot P(Bl/B)}{P(Bl)}$

$P(B/Bl)=\dfrac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}}{\frac{113}{360}}=\dfrac{\frac{1}{18}}{\frac{113}{360}}=\dfrac{360}{18\cdot113}=\dfrac{20}{113}$

De cada cien bolas blancas que se extraigan por este procedimiento, unas dieciocho vendrán de la caja B: $P(B/Bl)=\frac{20}{113}\approx0{,}1770$.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que, sacando al azar dos bolas de las cajas A o B, se obtengan dos bolas blancas. [1 punto]}$

Entendemos que se elige al azar una de las dos cajas y de ella se extraen las dos bolas, una tras otra y sin devolver la primera. En la caja B solo hay una bola blanca, de modo que esa rama es imposible.

$P(\text{2 blancas}/A)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$

$P(\text{2 blancas}/B)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{0}{5}=0$

$P(\text{2 blancas})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{2}\cdot0=\dfrac{1}{15}$

La otra lectura posible del enunciado, sacar una bola de la caja A y otra de la caja B, conduce al mismo número, porque los sucesos son entonces independientes.

$\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}$

En cualquiera de las dos interpretaciones la probabilidad de obtener dos bolas blancas es $\frac{1}{15}\approx0{,}0667$.