Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

El servicio de instrumentación del Roque de los Muchachos (La Palma) recibe un lote de 120 sensores de luz. De estos, 20 sensores de luz son de ultra-alta sensibilidad destinados al telescopio LST-1, y el resto son de sensibilidad estándar y se reparten por igual entre los telescopios MAGIC I y MAGIC II.

Tras el largo transporte por carretera hasta la cumbre, la probabilidad de que un sensor de los MAGIC sufra un micro-desajuste y se deba recalibrar en el laboratorio, es del 1.6%. Mientras que, sensores del LST-1 están en embalajes más reforzados y el micro-desajuste sucede el 0.9% de las veces.

Antes de instalarlos, el jefe de operaciones elige al azar un sensor del lote para comprobar su estado.

a) Calcular la probabilidad de que el sensor de luz elegido deba ser recalibrado. [1 punto]

b) Elegido un sensor de luz que no requiere recalibración, justificar razonadamente si la probabilidad de que pertenezca al telescopio MAGIC-II es superior al doble de la probabilidad de que proceda del telescopio LST1. [1 punto]

Los 120 sensores se reparten en tres grupos: 20 para el LST-1 y los 100 restantes por igual entre los dos MAGIC, es decir, 50 y 50. Nombrando los sucesos:

$L \equiv$ el sensor elegido es del telescopio LST-1

$M_1 \equiv$ el sensor elegido es del telescopio MAGIC I

$M_2 \equiv$ el sensor elegido es del telescopio MAGIC II

$R \equiv$ el sensor debe recalibrarse

Como el sensor se elige al azar del lote, la probabilidad de cada grupo es su proporción sobre el total, y las probabilidades de recalibración las da el enunciado.

$P(L)=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}\ ,\qquad P(M_1)=P(M_2)=\dfrac{50}{120}=\dfrac{5}{12}$

$P(R\,|\,L)=0{,}009\ ,\qquad P(R\,|\,M_1)=P(R\,|\,M_2)=0{,}016$

De cada uno de los tres grupos cuelgan las dos mismas posibilidades, recalibrar o no recalibrar, con probabilidades complementarias.

$P(\overline{R}\,|\,L)=0{,}991\ ,\qquad P(\overline{R}\,|\,M_1)=P(\overline{R}\,|\,M_2)=0{,}984$

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que el sensor de luz elegido deba ser recalibrado. [1 punto]}$

Los tres telescopios forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $R$.

$P(R)=P(L)\cdot P(R\,|\,L)+P(M_1)\cdot P(R\,|\,M_1)+P(M_2)\cdot P(R\,|\,M_2)$

$=\dfrac{1}{6}\cdot 0{,}009+\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}016+\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}016$

$=0{,}0015+0{,}006667+0{,}006667=0{,}014833$

La probabilidad de que el sensor elegido deba ser recalibrado es $0{,}0148$, es decir, un $1{,}48\ \%$ de los sensores del lote.

$\textbf{b) Elegido un sensor de luz que no requiere recalibración, justificar razonadamente si la probabilidad de que pertenezca al telescopio MAGIC-II es superior al doble de la probabilidad de que proceda del telescopio LST1. [1 punto]}$

Se conoce el resultado de la comprobación y se pregunta por el telescopio de procedencia, es decir, se va del efecto a la causa: se aplica el teorema de Bayes. El denominador es común a las dos probabilidades que hay que comparar.

$P(\overline{R})=1-P(R)=1-0{,}014833=0{,}985167$

$P(M_2\,|\,\overline{R})=\dfrac{P(M_2)\cdot P(\overline{R}\,|\,M_2)}{P(\overline{R})}=\dfrac{\dfrac{5}{12}\cdot 0{,}984}{0{,}985167}=\dfrac{0{,}41}{0{,}985167}\approx 0{,}4162$

$P(L\,|\,\overline{R})=\dfrac{P(L)\cdot P(\overline{R}\,|\,L)}{P(\overline{R})}=\dfrac{\dfrac{1}{6}\cdot 0{,}991}{0{,}985167}=\dfrac{0{,}165167}{0{,}985167}\approx 0{,}1677$

Se compara la primera con el doble de la segunda.

$2\cdot P(L\,|\,\overline{R})\approx 2\cdot 0{,}1677=0{,}3353$

$0{,}4162>0{,}3353$

La afirmación es cierta: sabiendo que el sensor no requiere recalibración, la probabilidad de que proceda del MAGIC II, $0{,}4162$, sí supera al doble de la de que proceda del LST-1, $0{,}3353$. El motivo de fondo es que los MAGIC reciben dos veces y media más sensores que el LST-1, y esa diferencia de tamaño pesa mucho más que la pequeña ventaja del embalaje reforzado.