Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Juan ha gastado 80 € por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcule el precio de cada prenda antes de las rebajas. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{jersey?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{camisa?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al precio del jersey, $y$ al de la camisa y $z$ al del pantalón, los tres en euros. Las dos condiciones del enunciado dan dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=80\\ x={\displaystyle \frac{y+z}{3}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y+z=80\\ 3x-y-z=0\end{array}$

Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas cuyas filas no son proporcionales, luego $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Ahora bien, que el sistema tenga infinitas soluciones no impide que alguna incógnita quede fijada. Sumando las dos ecuaciones desaparecen $y$ y $z$ a la vez:

$(x+y+z)+(3x-y-z)=80+0\Rightarrow 4x=80\Rightarrow x=20$

Con ese valor, la primera ecuación queda $y+z=60$, que admite infinitas parejas de precios positivos.

Sí es posible determinar de forma única el precio del jersey, que es de 20 €, pero no el de la camisa: con los datos de este apartado solo sabemos que la camisa y el pantalón cuestan juntos 60 €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Juan}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rebajas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{gastado}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{pues}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jersey,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{camisa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pantal}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{descuento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{prenda}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rebajas.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El nuevo dato aporta una tercera ecuación. Con los descuentos, Juan pagaría el 70 \% del jersey, el 60 \% de la camisa y el 80 \% del pantalón:

$\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,6}y+\mathrm{0,8}z=57$

Sustituimos el precio del jersey obtenido en el apartado anterior, $x=20$, y usamos $y+z=60$.

$\mathrm{0,7}\cdot 20+\mathrm{0,6}y+\mathrm{0,8}z=57\Rightarrow 14+\mathrm{0,6}y+\mathrm{0,8}z=57\Rightarrow \mathrm{0,6}y+\mathrm{0,8}z=43$

Despejamos $y=60-z$ y sustituimos:

$\mathrm{0,6}(60-z)+\mathrm{0,8}z=43\Rightarrow 36+\mathrm{0,2}z=43\Rightarrow z=35$

$y=60-35=25$

Comprobamos el gasto rebajado: $\mathrm{0,7}\cdot 20+\mathrm{0,6}\cdot 25+\mathrm{0,8}\cdot 35=14+15+28=57$ €.

Antes de las rebajas el jersey costaba 20 €, la camisa 25 € y el pantalón 35 €.