Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}{a}^{3}x+y+az=1\\ ax+a^{2}y=a\end{array}$

dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Discuta el sistema en función de los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Considere $a=0$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a=2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. El sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas, así que ni la matriz de coeficientes ni la ampliada pueden pasar de rango dos y el sistema nunca podrá ser determinado.

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}^3& 1& a\\ a& a^2& 0\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{a}^3& 1& a& 1\\ a& a^2& 0& a\end{array}\right)$

El rango de $M$ vale dos en cuanto uno de sus tres menores de orden dos sea distinto de cero, de modo que los calculamos los tres.

$\mid \begin{array}{cc}{a}^3& 1\\ a& a^2\end{array}\mid =a^5-a,\mid \begin{array}{cc}{a}^3& a\\ a& 0\end{array}\mid =-a^2,\mid \begin{array}{cc}1& a\\ a^2& 0\end{array}\mid =-a^3$

El segundo y el tercero solo se anulan en $a=0$, así que ese es el único valor que puede hacer bajar el rango.

Si $a\mathrm{\ne }0$, el menor $-a^2$ no es nulo y $\mathrm{ran}(M)=2$. La ampliada contiene a $M$ y tampoco puede pasar de dos, luego $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$, menor que el número de incógnitas.

Si $a=0$, las dos matrices quedan

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

y ambas tienen rango uno, porque la segunda fila es entera de ceros.

El sistema es compatible indeterminado para todo valor de $a$: con un grado de libertad si $a\mathrm{\ne }0$ y con dos grados de libertad si $a=0$.



Sustituimos $a=0$ en las dos ecuaciones del enunciado.

$\{\begin{array}{l}0\cdot x+y+0\cdot z=1\\ 0\cdot x+0\cdot y=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=1\\ 0=0\end{array}$

La segunda ecuación no aporta información y la primera solo fija $y$, de manera que $x$ y $z$ quedan libres, como anticipaba el rango uno del apartado anterior.

$x=\lambda ,y=1,z=\mu ,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$

La solución general es el conjunto de puntos $(\lambda ,1,\mu )$, un plano de soluciones que depende de dos parámetros.



Sustituimos $a=2$ y simplificamos la segunda ecuación dividiéndola entre dos.

$\{\begin{array}{l}8x+y+2z=1\\ 2x+4y=2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}8x+y+2z=1\\ x+2y=1\end{array}$

Como el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos las otras dos incógnitas. De la segunda ecuación sale $x$ directamente.

$x=1-2\lambda$

Llevamos ese valor a la primera ecuación y despejamos $z$.

$8(1-2\lambda )+\lambda +2z=1\Rightarrow 8-15\lambda +2z=1\Rightarrow z={\displaystyle \frac{15\lambda -7}{2}}$

Comprobamos con $\lambda =1$: el punto $(-1,1,4)$ cumple $-8+1+8=1$ y $-2+4=2$.

La solución general es $x=1-2\lambda$, $y=\lambda$, $z={\displaystyle \frac{15\lambda -7}{2}}$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.