Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un turista recorre el Principado de Asturias pasando $x$ días en la zona del oriente, $y$ días en la zona centro y $z$ días en la zona de occidente. Sus gastos en estas vacaciones se reparten como sigue: cada día que pasa en la zona oriental gasta 30 € en hospedaje y 25 € en alimentación, en la zona centro gasta 40 € en hospedaje y 20 € en alimentación. En cuanto a la zona del occidente sus gastos diarios son 30 € en hospedaje y 40 € en alimentación. Además, cada día de vacaciones gasta en otros conceptos 25 € en cada zona.

a) Si decide repartir el presupuesto en 290 € para hospedaje, 290 € para alimentación y 225 € para gastos varios, plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) En la situación del apartado a) decida cuántos días puede estar en cada zona. [1 punto]

c) Manteniendo el presupuesto para cada concepto, decida cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestre que no se puede mantener esa distribución del presupuesto. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{modelice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{balo}}\mathbf{\text{matricialmente.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las incógnitas son los días pasados en cada zona: $x$ en el oriente, $y$ en el centro y $z$ en el occidente. Cada concepto de gasto da una ecuación:

$\{\begin{array}{rcrcrcl}30x& +& 40y& +& 30z& =& 290\\ 25x& +& 20y& +& 40z& =& 290\\ 25x& +& 25y& +& 25z& =& 225\end{array}$

La primera es el hospedaje, la segunda la alimentación y la tercera los gastos varios, que son 25 € por día en cualquier zona. En forma matricial, $AX=B$:

$\left(\begin{array}{ccc}30& 40& 30\\ 25& 20& 40\\ 25& 25& 25\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}290\\ 290\\ 225\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{decida}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{zona.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene simplificar cada ecuación antes de operar: la primera se divide entre 10, la segunda entre 5 y la tercera entre 25.

$\{\begin{array}{rcrcrcl}3x& +& 4y& +& 3z& =& 29\\ 5x& +& 4y& +& 8z& =& 58\\ x& +& y& +& z& =& 9\end{array}$

La tercera dice que el viaje dura nueve días. Restando a la primera el triple de la tercera:

$(3x+4y+3z)-3(x+y+z)=29-27\Rightarrow y=2$

Con $y=2$, la tercera da $x+z=7$ y la segunda queda

$5x+8+8z=58\Rightarrow 5x+8z=50$

Sustituyendo $x=7-z$:

$5(7-z)+8z=50\Rightarrow 35+3z=50\Rightarrow z=5\Rightarrow x=2$

El turista pasa $2$ días en el oriente, $2$ en el centro y $5$ en el occidente. Se comprueban los tres presupuestos:

$30\cdot 2+40\cdot 2+30\cdot 5=29025\cdot 2+20\cdot 2+40\cdot 5=29025\cdot 9=225$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Manteniendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{presupuesto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{concepto,}}\mathbf{\text{decida}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{decide}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{visitar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{oriente,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{mantener}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{presupuesto.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No visitar el oriente significa imponer $x=0$, con lo que quedan tres ecuaciones y dos incógnitas:

$\{\begin{array}{rcrcl}4y& +& 3z& =& 29\\ 4y& +& 8z& =& 58\\ y& +& z& =& 9\end{array}$

Se resuelve con dos de ellas y se comprueba la tercera, que es lo que decide. De la última, $y=9-z$, y llevándolo a la primera:

$4(9-z)+3z=29\Rightarrow 36-z=29\Rightarrow z=7\Rightarrow y=2$

Pero al sustituir en la ecuación de la alimentación:

$4\cdot 2+8\cdot 7=8+56=64\mathrm{\ne }58$

El sistema es incompatible: no existe ninguna forma de repartir los nueve días entre el centro y el occidente que agote exactamente los tres presupuestos. Renunciando al oriente no se puede mantener esa distribución del gasto.