Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay $2$ monedas de oro y $3$ monedas de plata. En la segunda hay $6$ monedas de oro y $3$ de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a) Calcule la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata. [0,75 puntos]}$

Llamamos $O_1$ y $P_1$ a los sucesos «la moneda extraída de la primera bolsa es de oro o de plata» y $O_2$ al suceso «la moneda extraída de la segunda bolsa es de oro». En la primera bolsa hay 2 monedas de oro y 3 de plata, de modo que

$P(O_1)=\dfrac{2}{5}, \qquad P(P_1)=\dfrac{3}{5}$

Tras el trasvase, la segunda bolsa pasa a tener 10 monedas. Si la que llegó era de plata, contiene 6 de oro y 4 de plata; si era de oro, 7 de oro y 3 de plata.



La probabilidad pedida es la condicionada que se lee directamente en la rama inferior del árbol.

$P(O_2/P_1)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$

Si la moneda que se pasó de la primera bolsa a la segunda era de plata, la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro es $\dfrac{3}{5}=0{,}6$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro. [1,75 puntos]}$

Ahora se conoce el resultado del experimento y se pregunta por la causa: es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes. Calculamos primero la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro con el teorema de la probabilidad total.

$P(O_2)=P(O_1)P(O_2/O_1)+P(P_1)P(O_2/P_1)$

$P(O_2)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{6}{10} =\dfrac{14}{50}+\dfrac{18}{50}=\dfrac{32}{50}=\dfrac{16}{25}$

Aplicamos ahora el teorema de Bayes.

$P(P_1/O_2)=\dfrac{P(P_1)\cdot P(O_2/P_1)}{P(O_2)} =\dfrac{\dfrac{18}{50}}{\dfrac{32}{50}}=\dfrac{18}{32}=\dfrac{9}{16}$

Sabiendo que la segunda moneda es de oro, la probabilidad de que la que se trasvasó fuera de plata es $\dfrac{9}{16}=0{,}5625$.