Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Dos cargas eléctricas puntuales positivas iguales $q_1=q_2=q$ están fijas situadas en los dos vértices de la base de un triángulo equilátero de lado $L=40\text{ cm}$ como indica la figura. Se sabe que el módulo del campo eléctrico total debido a estas dos cargas en el tercer vértice P del triángulo es de 292,3 N/C. Calcule:



a) El valor de la carga eléctrica $q$.

b) El trabajo que es necesario realizar para transportar otra carga puntual positiva $q_0=5\cdot {10}^{-6}\text{ C}$, desde el punto P hasta el punto A situado en el centro de la base del triángulo, sin variar su energía cinética.

Dato: constante de Coulomb $k=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathit{q}\mathbf{\text{.}}$










Las dos cargas son iguales y están a la misma distancia $L$ del vértice P, de modo que sus campos tienen el mismo módulo:

$E_1=E_2=k{\displaystyle \frac{q}{L^2}}$

y, al ser el triángulo equilátero, forman entre sí un ángulo de ${60}^{\circ }$.





Por simetría, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman. La proyección de cada una vale $\cos {30}^{\circ }$:

$E=2k{\displaystyle \frac{q}{L^2}}\cos {30}^{\circ }=\sqrt{3}{\displaystyle \frac{kq}{L^2}}$

Igualando al dato del enunciado y despejando la carga:

$q={\displaystyle \frac{E{L}^2}{\sqrt{3}k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{292,3}\cdot {\mathrm{0,40}}^2}{\mathrm{1,732}\cdot 9\cdot {10}^9}}$

$q=\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-9}\text{ C}=3\text{ nC}$



Que la energía cinética no varíe significa que el trabajo pedido es exactamente la variación de la energía potencial:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=q_0(V_A-V_P)$

Se calculan los dos potenciales. En P, las dos cargas están a distancia $L$:

$V_P=2k{\displaystyle \frac{q}{L}}={\displaystyle \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\cdot 3\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,40}}}=135\text{ V}$

En A, centro de la base, están a distancia $L\mathrm{/}2$:

$V_A=2k{\displaystyle \frac{q}{L\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\cdot 3\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,20}}}=270\text{ V}$

$W_{\text{ext}}=5\cdot {10}^{-6}(270-135)$

$W_{\text{ext}}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^{-4}\text{ J}$

El trabajo exterior necesario es de $\mathrm{6,75}\cdot {10}^{-4}\text{ J}$, y es POSITIVO: hay que empujar la carga, porque va desde un punto de potencial bajo a otro de potencial alto, acercándose a las dos cargas positivas que la repelen.