Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2020

Una carga eléctrica puntual positiva $q_1=q$ está fija en el origen de coordenadas. Otra carga eléctrica puntual negativa $q_2=-2q$ está fija en el eje X en un punto A de coordenada $x=4\text{ m}$. Se sabe que en el punto B situado en el eje Y con coordenada $y=3\text{ m}$ el potencial eléctrico total debido a ambas cargas es de $-\mathrm{4,8}\text{ V}$. Calcule:

a) El valor de la carga $q$.

b) El vector campo eléctrico total en el punto B, expresando su módulo, dirección y sentido.

Dato: constante de Coulomb $k=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$

Las posiciones son: $q_1=q$ en el origen, $q_2=-2q$ en $A(4,0)$ y el punto $B(0,3)$. Las distancias a B son, por tanto:

$r_1=3\text{ m}{r}_2=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathit{q}\mathbf{\text{.}}$

El potencial es un escalar y se suman las dos contribuciones con su signo:

$V_B=k{\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+k{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}}=kq({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})$

$V_B=kq\cdot {\displaystyle \frac{5-6}{15}}=-{\displaystyle \frac{kq}{15}}$

Igualando al dato del enunciado:

$-{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^{9}q}{15}}=-\mathrm{4,8}\Rightarrow q={\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}\cdot 15}{9\cdot {10}^9}}$

$q=8\cdot {10}^{-9}\text{ C}=8\text{ nC}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{expresando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido.}}$










El campo de $q_1$, que es POSITIVA y está en el origen, se aleja de ella subiendo por el eje Y:

$E_1=k{\displaystyle \frac{q}{r_1^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 8\cdot {10}^{-9}}{9}}=8\text{ N/C}$

${\vec{E}}_1=8\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$





El campo de $q_2$, que es NEGATIVA y vale $-16\text{ nC}$, apunta HACIA ella, es decir, de B hacia A, en la dirección del vector unitario $(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$ que da el triángulo 3-4-5:

$E_2=k{\displaystyle \frac{2q}{r_2^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 16\cdot {10}^{-9}}{25}}=\mathrm{5,76}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=\mathrm{5,76}(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})=(\mathrm{4,61};-\mathrm{3,46})\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_B={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=(\mathrm{4,61};8-\mathrm{3,46})=(\mathrm{4,61};\mathrm{4,54})\text{ N/C}$

$E_B=\sqrt{{\mathrm{4,61}}^2+{\mathrm{4,54}}^2}=\mathrm{6,47}\text{ N/C}$

El campo total en B vale $\mathrm{6,47}\text{ N/C}$ y está contenido en el plano XY, formando ${\mathrm{44,6}}^{\circ }$ con el semieje X positivo, es decir, apuntando hacia arriba y a la derecha. Obsérvese que el potencial allí era negativo y el campo no apunta hacia la carga negativa: potencial y campo son cosas distintas, y el signo de uno no dice nada sobre la dirección del otro.