Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

En un colisionador de hadrones se aceleran protones con una energía cinética de $1\cdot {10}^9\text{ eV}$. Sabiendo que la masa en reposo del protón es aproximadamente $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$:

a) Calcule la masa relativista del protón cuando adquiere esa energía cinética.

b) Determine la velocidad con que viajan los protones al alcanzar esa energía cinética.

Datos: $1\text{ eV}\approx \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{adquiere}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica.}}$

En relatividad, la energía total de una partícula es la suma de su energía en reposo y su energía cinética:

$E=E_0+E_c=m_0{c}^2+E_c$

y esa energía total se puede escribir con la masa relativista, $E=m{c}^2$. Se calculan los dos sumandos en julios:

$E_0=m_0{c}^2=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot {(3\cdot {10}^8)}^2=\mathrm{1,50}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

$E_c={10}^9\text{ eV}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}}{1\text{ eV}}}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

$E=\mathrm{1,50}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-10}=\mathrm{3,10}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

Y de ahí la masa relativista:

$m={\displaystyle \frac{E}{c^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,10}\cdot {10}^{-10}}{{(3\cdot {10}^8)}^2}}$

$m=\mathrm{3,45}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

La masa relativista del protón es de $\mathrm{3,45}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$, algo más del doble de su masa en reposo. Es la señal de que la energía cinética que se le ha comunicado es comparable a su energía en reposo, de 939 MeV.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viajan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{protones}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica.}}$

El cociente entre la masa relativista y la de reposo es el factor de Lorentz:

$\gamma ={\displaystyle \frac{m}{m_0}}={\displaystyle \frac{E}{E_0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,10}\cdot {10}^{-10}}{\mathrm{1,50}\cdot {10}^{-10}}}$

$\gamma =\mathrm{2,06}$



Y de la definición del factor de Lorentz se despeja la velocidad:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}}$

${\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{2,06}}^2}}}=\sqrt{1-\mathrm{0,235}}=\mathrm{0,875}$

$v=\mathrm{0,875}\cdot 3\cdot {10}^8=\mathrm{2,62}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Los protones viajan a $\mathrm{2,62}\cdot {10}^8\text{ m/s}$, el 87,5 % de la velocidad de la luz. La gráfica deja ver por qué el cálculo clásico no serviría: a partir de $\gamma \simeq \mathrm{1,1}$ la curva se separa de la unidad y la energía cinética deja de ser $\frac{1}{2}m{v}^2$.