Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2023

Un científico de la ESA realiza el seguimiento de una nave espacial que se aleja de la Tierra a una cierta velocidad $v$. Este científico determina que la longitud de dicha nave es la mitad que la longitud de la nave medida por el astronauta que la pilota.

a) Calcule la velocidad a la que viaja la nave espacial.

b) Si la masa de la nave en reposo es de 5000 kg, calcule su masa relativista respecto de la Tierra.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viaja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{espacial.}}$










La longitud que mide el astronauta es la longitud PROPIA, porque la nave está en reposo respecto de él. El observador terrestre, respecto del cual la nave se mueve, mide una longitud contraída:

$L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}$

y el enunciado dice que esa medida es la mitad de la propia.





${\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}={\displaystyle \frac{L_0}{2}}\Rightarrow \gamma =2$

Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$

${\displaystyle \frac{v}{c}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\mathrm{0,866}$

$v=\mathrm{0,866}\cdot 3\cdot {10}^8=\mathrm{2,60}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La nave viaja a $\mathrm{2,60}\cdot {10}^8\text{ m/s}$, el 86,6 % de la velocidad de la luz.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5000}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

La masa relativista es la de reposo multiplicada por el mismo factor de Lorentz:

$m=\gamma m_0=2\cdot 5000$

$m=10000\text{ kg}$

Respecto de la Tierra la nave tiene una masa relativista de $10000\text{ kg}$, el doble de su masa en reposo. Es coherente con lo anterior: la contracción de longitudes y el aumento de la masa relativista los gobierna el mismo factor $\gamma$, que aquí vale exactamente 2.