Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

Una nave espacial parte desde la Tierra hacia la estrella X con una velocidad $v=\mathrm{0,6}c$. Respecto a los relojes de la Tierra, la nave tarda 10 años en llegar a la estrella X.

a) Calcule en años-luz la distancia respecto a la Tierra a la que se encuentra la estrella X.

b) Calcule en años-luz la distancia respecto a la nave a la que se encuentra la estrella X.

c) Calcule en años el tiempo que los relojes de la nave atrasarán medidos respecto de la Tierra cuando la nave llegue a la estrella X.

Todo el problema se resuelve con el factor de Lorentz correspondiente a la velocidad de la nave:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,6}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,64}}}}=\mathrm{1,25}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os-luz}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella}}\mathbf{\text{X.}}$

En el sistema de referencia de la Tierra, la nave viaja a velocidad constante durante 10 años terrestres, de modo que la distancia es sencillamente el producto:

$d=vt=\mathrm{0,6}c\cdot 10\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

$d=6\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os-luz}$

La estrella X está a 6 años-luz de la Tierra, medidos por un observador terrestre. Nótese que la unidad sale sola: la velocidad de la luz por un año es, por definición, un año-luz.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os-luz}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella}}\mathbf{\text{X.}}$



Para los tripulantes, la Tierra y la estrella se mueven, y la distancia entre ellas es una longitud propia medida en el sistema terrestre. En el sistema de la nave esa longitud aparece contraída por el factor de Lorentz:

$d^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{d}{\gamma }}={\displaystyle \frac{6}{\mathrm{1,25}}}$

$d^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{4,8}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os-luz}$

Desde la nave, la estrella X está a 4,8 años-luz.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{relojes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{atrasar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{medidos}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella}}\mathbf{\text{X.}}$

El tiempo que marcan los relojes de la nave es el tiempo propio, porque salida y llegada ocurren en el mismo punto del sistema de la nave. Se relaciona con el terrestre por la dilatación temporal:

$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_p\Rightarrow \mathrm{\Delta }{t}_p={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t}{\gamma }}={\displaystyle \frac{10}{\mathrm{1,25}}}=8\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El atraso pedido es la diferencia entre los dos:

$\mathrm{\Delta }t-\mathrm{\Delta }{t}_p=10-8=2\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Los relojes de la nave atrasan 2 años respecto de los terrestres. Se comprueba la coherencia del resultado: para los tripulantes, recorrer 4,8 años-luz a $\mathrm{0,6}c$ lleva $\mathrm{4,8}\mathrm{/}\mathrm{0,6}=8$ años, exactamente su tiempo propio.