Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2023

En un cierto experimento de colisión entre partículas se han originado un electrón relativista de velocidad $\mathrm{0,8}c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, y un fotón de 10 MeV de energía. Calcule:

a) La masa relativista del electrón.

b) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrón.

c) La longitud de onda del fotón.

Datos: constante de Planck $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; masa del electrón en reposo $m=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

La masa relativista es la de reposo multiplicada por el factor de Lorentz, que solo depende de la velocidad:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,8}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,36}}}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$

$m=\gamma m_0={\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}$

$m=\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-30}\text{ kg}$

La masa relativista del electrón es de $\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-30}\text{ kg}$, cinco tercios de su masa en reposo.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento, que hay que calcular con la masa RELATIVISTA:

$p=mv=\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-30}\cdot \mathrm{0,8}\cdot 3\cdot {10}^8=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-22}\text{ kg m/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-22}}}$

$\lambda =\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-12}\text{ m}$

La longitud de onda de De Broglie del electrón es de $\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-12}\text{ m}$, del orden de la centésima parte del tamaño de un átomo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Para el fotón se usa la relación de Planck entre su energía y su longitud de onda, pasando antes los megaelectronvoltios a julios:

$E=10\text{ MeV}={10}^7\cdot \mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{hc}{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-12}}}$

$\lambda =\mathrm{1,24}\cdot {10}^{-13}\text{ m}$

La longitud de onda del fotón es de $\mathrm{1,24}\cdot {10}^{-13}\text{ m}$, propia de la radiación gamma. Es unas quince veces menor que la del electrón, pese a que este viaja a 0,8c: la relación entre longitud de onda y energía no es la misma para una partícula con masa que para un fotón.