Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Una carga $q=-1\text{ nC}$ y masa $m=8\cdot {10}^{-21}\text{ kg}$ penetra con una velocidad $v=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$ por el punto P en una región con un campo magnético $\vec{B}$ perpendicular al papel y hacia adentro (zona de color gris en la figura). Tras un cierto tiempo $t_f$, sabemos que la carga regresará a la primera región bien por el punto $Q_1$ que está situado a una distancia $d$ por encima de P, o bien por el punto $Q_2$ que está situado a esa misma distancia $d$ pero por debajo de P.



a) Razone si $q$ abandona la región sombreada por el punto $Q_1$ o por el punto $Q_2$.

b) Determine la intensidad de $\vec{B}$ para que la distancia $d$ sea de 50 cm.

c) Calcule el tiempo $t_f$ que la carga $q$ permanece dentro de la región sombreada.

Se decide con el sentido de la fuerza magnética en el instante de entrar:

${\vec{F}}_m=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Con el eje X en el sentido de la velocidad, el eje Y hacia arriba y el eje Z saliendo del papel:

$\vec{v}=v\vec{\mathrm{ı}}\vec{B}=-B\vec{k}$





$\vec{v}\times \vec{B}=v\vec{\mathrm{ı}}\times (-B\vec{k})=-vB(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=+vB\vec{\mathrm{ȷ}}$

Si la carga fuera positiva la fuerza iría hacia arriba, pero aquí $q<0$, de modo que:

${\vec{F}}_m=qvB\vec{\mathrm{ȷ}}=-\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\vec{\mathrm{ȷ}}$

La fuerza apunta hacia abajo, así que la carga se curva hacia abajo y sale por el punto $Q_2$, el que está por debajo de P.



La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: dentro de la región la trayectoria es un arco de circunferencia de radio:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

La carga entra perpendicularmente al borde de la región, así que el centro de la circunferencia cae sobre el propio borde: recorre exactamente media circunferencia y sale por un punto del mismo borde separado un diámetro del de entrada.

$d=2R\Rightarrow R={\displaystyle \frac{\mathrm{0,50}}{2}}=\mathrm{0,25}\text{ m}$

Despejando el campo:

$B={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }R}}={\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-21}\cdot 2\cdot {10}^8}{{10}^{-9}\cdot \mathrm{0,25}}}$

$B=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-3}\text{ T}$

Hace falta un campo de $\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-3}\text{ T}$, unos 6,4 militeslas.



Como recorre media circunferencia, el tiempo es medio periodo, y el periodo de un movimiento circular en un campo magnético no depende de la velocidad:

$T={\displaystyle \frac{2\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}\Rightarrow t_f={\displaystyle \frac{T}{2}}={\displaystyle \frac{\pi m}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

$t_f={\displaystyle \frac{\pi \cdot 8\cdot {10}^{-21}}{{10}^{-9}\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{3,93}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$

La carga permanece $\mathrm{3,93}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$ dentro de la región, unos 4 nanosegundos. Se comprueba con el arco recorrido: $t=\pi R\mathrm{/}v=\mathrm{3,93}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$.

Conviene señalar que la velocidad del enunciado, $2\cdot {10}^8\text{ m/s}$, son dos tercios de la velocidad de la luz; el problema se resuelve, como pide el nivel, con la mecánica clásica.