Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Tres conductores rectilíneos muy largos y paralelos pasan a través de los vértices de un cuadrado de lado $L$, según se muestra en la figura. Las corrientes $I_1$ e $I_3$ circulan hacia dentro del papel e $I_2$ circula hacia fuera del papel. Determine la relación entre los valores de las corrientes para que el vector campo magnético total creado por los tres conductores en el vértice P no ocupado sea cero.

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{conductores}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ocupado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{cero.}}$










De la figura se leen las distancias de cada conductor al vértice libre P: los dos conductores de los vértices contiguos están a $L$ y el de la diagonal, a $L\sqrt{2}$.

El módulo del campo de un conductor recto indefinido es:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$





La dirección la da la regla de la mano derecha: el campo es siempre perpendicular al segmento que une el conductor con el punto. Tomando el eje X horizontal y el eje Y vertical, y llamando $I_1$ e $I_3$ a las corrientes de los vértices contiguos a P (las dos entrantes) e $I_2$ a la de la diagonal (saliente):

${\vec{B}}_1={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi L}}{\vec{u}}_1{\vec{B}}_3={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_3}{2\pi L}}{\vec{u}}_3$

y esos dos campos son perpendiculares entre sí, uno horizontal y otro vertical.

El campo de la corriente de la diagonal es perpendicular a ella, de modo que forma ${45}^{\circ }$ con los ejes y tiene componentes en las dos direcciones, cada una igual a:

$B_2\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi L\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{4\pi L}}$

Además, por ser $I_2$ de sentido contrario a las otras dos, su campo se opone a los de $I_1$ e $I_3$ en cada dirección. Para que el campo total se anule han de cancelarse las dos componentes por separado:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{4\pi L}}\Rightarrow I_1={\displaystyle \frac{I_2}{2}}$

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_3}{2\pi L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{4\pi L}}\Rightarrow I_3={\displaystyle \frac{I_2}{2}}$

La condición es, por tanto:

$I_2=2I_1=2I_3\text{es decir}{I}_1=I_3={\displaystyle \frac{I_2}{2}}$

Las dos corrientes de los vértices contiguos han de ser iguales entre sí y la mitad de la de la diagonal. Tiene sentido: la corriente de la diagonal está $\sqrt{2}$ veces más lejos y además solo aporta la fracción $\cos {45}^{\circ }$ a cada eje, así que necesita el doble de intensidad para compensar a cada una de las otras.