Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2023

Se tienen tres hilos indefinidos de corriente (ver figura). Los hilos de intensidades $I_1=2\text{ A}$ e $I_2=2\text{ A}$ son perpendiculares al plano $xy$, y pasan por los puntos $(0,0,0)\text{ m}$ y $(0,4,0)\text{ m}$, respectivamente. El tercer hilo, con una intensidad $I_3=3\text{ A}$ está situado a lo largo del eje $x$. Calcule:



a) El módulo, dirección y sentido del campo magnético total creado por los tres hilos en el punto $(0,2,0)\text{ m}$.

b) El módulo, dirección y sentido de la fuerza magnética que por unidad de longitud ejerce el hilo de intensidad $I_1$ sobre el hilo de intensidad $I_2$. ¿Esa fuerza es atractiva o repulsiva?

Dato: permeabilidad magnética del vacío ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{N/A}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{hilos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$










El módulo del campo de un conductor recto indefinido es:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$

y su dirección la da la regla de la mano derecha: siempre perpendicular al segmento que une el conductor con el punto.





El punto $(0,2,0)$ es el PUNTO MEDIO entre $I_1$ e $I_2$, que están en $(0,0,0)$ y $(0,4,0)$. Los dos conductores son perpendiculares al papel, llevan la misma intensidad y salen los dos hacia fuera, de modo que sus campos en ese punto tienen el mismo módulo:

$B_1=B_2={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2}{2\pi \cdot 2}}=2\cdot {10}^{-7}\text{ T}$

pero sentidos OPUESTOS: el de $I_1$, que está debajo, apunta hacia $-\vec{\mathrm{ı}}$, y el de $I_2$, que está encima, hacia $+\vec{\mathrm{ı}}$. Se cancelan:

${\vec{B}}_1+{\vec{B}}_2=\vec{0}$

Solo queda el campo del tercer hilo, que va a lo largo del eje X y está a 2 m del punto:

$B_3={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 3}{2\pi \cdot 2}}=3\cdot {10}^{-7}\text{ T}$

Su corriente va en el sentido $+\vec{\mathrm{ı}}$ y el punto está por encima de él, de modo que por la regla de la mano derecha el campo SALE del papel:

$\vec{B}=3\cdot {10}^{-7}\vec{k}\text{ T}$

El campo total vale $3\cdot {10}^{-7}\text{ T}$, tiene la dirección del eje Z y sale del plano del papel.



Los dos conductores son paralelos e indefinidos, y están separados 4 m. La fuerza por unidad de longitud entre ellos es:

${\displaystyle \frac{F}{L}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2\cdot 2}{2\pi \cdot 4}}$

${\displaystyle \frac{F}{L}}=2\cdot {10}^{-7}\text{ N/m}$

El sentido se obtiene con la ley de Laplace. El campo que $I_1$ crea en la posición de $I_2$ apunta, por la regla de la mano derecha, hacia $-\vec{\mathrm{ı}}$:

${\vec{B}}_1=-B_1\vec{\mathrm{ı}}\text{con}{B}_1={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}}$

y la corriente $I_2$ va según $+\vec{k}$, de modo que:

${\displaystyle \frac{\vec{F}}{L}}=I_2{\vec{u}}_{I_2}\times {\vec{B}}_1=I_2{B}_1\vec{k}\times (-\vec{\mathrm{ı}})=-I_2{B}_1\vec{\mathrm{ȷ}}$

La fuerza vale $2\cdot {10}^{-7}\text{ N/m}$, tiene la dirección del eje Y y el sentido NEGATIVO, es decir, apunta de $I_2$ hacia $I_1$: es ATRACTIVA. Encaja con la regla general de que dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen.