Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2022

El muón $({\mu }^{-})$ tiene la misma carga eléctrica que el electrón. En un acelerador de partículas se aceleran muones desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 2000 V.

a) Determine la energía cinética que adquieren los muones.

b) A continuación, los muones entran en una zona con un campo magnético uniforme de 3 mT perpendicular a su velocidad. Si se inyectan electrones con la misma velocidad en el mismo campo magnético la trayectoria descrita por los electrones tiene un radio que es 206 veces más pequeño que en el caso de los muones. Obtenga la masa de un muón.

Datos: carga del electrón $e^{-}=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; masa del electrón $m=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{adquieren}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{muones.}}$










Al atravesar la diferencia de potencial, el trabajo del campo eléctrico se invierte íntegramente en energía cinética, porque los muones parten del reposo:

$W=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }V=E_c$





$E_c=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 2000=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$

La energía cinética que adquieren los muones es de $\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$, es decir, 2000 eV = 2 keV. Es el mismo valor para cualquier partícula de carga elemental que atraviese esos 2000 V, sea cual sea su masa: lo que cambia con la masa es la velocidad final.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mu}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Dentro del campo magnético, la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta y el radio de la trayectoria es:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

El enunciado precisa que muones y electrones se inyectan con la MISMA velocidad y en el mismo campo, y las dos partículas tienen la misma carga. En esas condiciones, el radio es directamente proporcional a la masa:

${\displaystyle \frac{R_{\mu }}{R_e}}={\displaystyle \frac{m_{\mu }}{m_e}}$

Como el radio de los electrones es 206 veces más pequeño:

$m_{\mu }=206m_e=206\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}$

$m_{\mu }=\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$

La masa del muón es de $\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$, unas 206 veces la del electrón, que es efectivamente el valor aceptado. Es el mismo principio del espectrómetro de masas: con la misma velocidad y el mismo campo, el radio mide la masa.