Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2021

Un electrón (carga $q=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$) penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme, paralelo al eje OX cuya intensidad es $\vec{E}=1000\vec{\mathrm{ı}}\text{ V/m}$. La velocidad del electrón es paralela al eje OY y de valor $\vec{v}=1000\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ m/s}$.

a) Calcule la fuerza eléctrica sobre el electrón. Exprésela vectorialmente o indique su módulo, dirección y sentido.

b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse mediante la fuerza producida por un campo magnético $\vec{B}$ uniforme en esa región del espacio. Determine la expresión vectorial de este campo $\vec{B}$, o bien indique su módulo, dirección y sentido. Razone la respuesta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$










La fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre una carga es:

${\vec{F}}_E=q\vec{E}$

y como el electrón tiene carga NEGATIVA, la fuerza tiene sentido contrario al campo.





${\vec{F}}_E=(-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19})\cdot 1000\vec{\mathrm{ı}}$

${\vec{F}}_E=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

La fuerza eléctrica vale $\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\text{ N}$, tiene la dirección del eje OX y el sentido NEGATIVO, es decir, contrario al campo.



Para que la fuerza total sea nula, la fuerza magnética tiene que ser la opuesta de la eléctrica:

${\vec{F}}_B=-{\vec{F}}_E=+\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

La fuerza magnética es ${\vec{F}}_B=q(\vec{v}\times \vec{B})$. Como la velocidad va según $+\vec{\mathrm{ȷ}}$ y la fuerza ha de ir según $\vec{\mathrm{ı}}$, el campo tiene que ser perpendicular a los dos, es decir, según el eje Z. Se escribe $\vec{B}=B_z\vec{k}$ y se impone la condición, recordando que $\vec{\mathrm{ȷ}}\times \vec{k}=\vec{\mathrm{ı}}$:

${\vec{F}}_B=q(v\vec{\mathrm{ȷ}})\times (B_z\vec{k})=qv{B}_z\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }v{B}_z\vec{\mathrm{ı}}$

Para que esa fuerza vaya en el sentido $+\vec{\mathrm{ı}}$ hace falta que $B_z<0$. Igualando módulos:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }{B}_z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }E\Rightarrow \mathrm{\mid }{B}_z\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{E}{v}}={\displaystyle \frac{1000}{1000}}$

$\vec{B}=-1\vec{k}\text{ T}$

El campo magnético vale $1\text{ T}$, tiene la dirección del eje OZ y el sentido NEGATIVO. Obsérvese que la condición $v=E\mathrm{/}B$ no depende del signo ni del valor de la carga: es el principio del selector de velocidades, que deja pasar sin desviarse solo a las partículas con esa rapidez.