Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2020

Una carga $q=1\cdot {10}^{-9}\text{ C}$ y masa $m=8\cdot {10}^{-21}\text{ kg}$ penetra con una velocidad $v=2\cdot {10}^5\text{ m/s}$ por el punto P en una región con un campo magnético $\vec{B}$ perpendicular al papel y hacia adentro (zona de color gris en la figura).



a) ¿Qué intensidad debe tener $\vec{B}$ para que la carga vuelva a la primera región por un punto Q situado a una distancia de 50 cm de P?

b) Razone si el punto Q estará localizado por encima o por debajo del punto P.

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: dentro de la región la trayectoria es un arco de circunferencia.

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$





La carga entra PERPENDICULARMENTE al borde de la región, así que el centro de la circunferencia cae sobre el propio borde: recorre exactamente media circunferencia y sale por un punto separado un DIÁMETRO del de entrada.

$d=2R\Rightarrow R={\displaystyle \frac{\mathrm{0,50}}{2}}=\mathrm{0,25}\text{ m}$

Despejando el campo:

$B={\displaystyle \frac{mv}{qR}}={\displaystyle \frac{8\cdot {10}^{-21}\cdot 2\cdot {10}^5}{{10}^{-9}\cdot \mathrm{0,25}}}$

$B=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-6}\text{ T}$

Hace falta un campo de $\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-6}\text{ T}$, unos 6,4 microteslas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{Q}}\mathbf{\text{estar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{localizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{debajo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P.}}$

Se decide con el sentido de la fuerza en el instante de entrar. Tomando el eje X en el sentido de la velocidad, el eje Y hacia arriba y el eje Z saliendo del papel:

$\vec{v}=v\vec{\mathrm{ı}}\vec{B}=-B\vec{k}$

$\vec{v}\times \vec{B}=v\vec{\mathrm{ı}}\times (-B\vec{k})=-vB(\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k})=+vB\vec{\mathrm{ȷ}}$

Y como la carga es POSITIVA:

$\vec{F}=qvB\vec{\mathrm{ȷ}}$

La fuerza apunta hacia arriba, de modo que la carga se curva hacia arriba y el punto Q está POR ENCIMA de P. Si la carga hubiera sido negativa, saldría por debajo.