Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2025

Dos partículas cargadas se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme con la misma velocidad.

i) Deduzca la expresión del radio de la trayectoria de una de ellas. [0,5 puntos]

ii) Si la masa de la primera es veinte veces mayor y su carga es la mitad de la segunda, encuentre la razón entre los periodos de sus movimientos. Razone sus respuestas. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una carga que entra perpendicularmente a un campo magnético uniforme experimenta la fuerza de Lorentz

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

cuyo módulo, al ser $\vec{v}$ perpendicular a $\vec{B}$, vale $F=qvB$. Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no realiza trabajo, no cambia el módulo de la velocidad y solo curva la trayectoria: actúa como fuerza centrípeta y el movimiento resultante es circular uniforme.

$qvB=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

Despejando el radio:

$r={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

El radio es proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula e inversamente proporcional a su carga y al campo.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{veinte}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda,}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{raz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{periodos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{movimientos.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{respuestas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer una circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi }{v}}\cdot {\displaystyle \frac{mv}{qB}}={\displaystyle \frac{2\pi m}{qB}}$

La velocidad se simplifica: el periodo no depende de lo deprisa que vaya la partícula, solo de su relación masa-carga y del campo. Es el principio en que se basa el ciclotrón.

Con los datos del enunciado, $m_1=20m_2$ y $q_1={\displaystyle \frac{q_2}{2}}$, y el mismo campo:

${\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2\pi m_1}{q_{1}B}}}{{\displaystyle \frac{2\pi m_2}{q_{2}B}}}}={\displaystyle \frac{m_1}{m_2}}\cdot {\displaystyle \frac{q_2}{q_1}}=20\cdot 2$

${\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}=40$

El periodo de la primera partícula es cuarenta veces mayor que el de la segunda: los dos efectos, el de la masa y el de la carga, van en el mismo sentido y se multiplican.