Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2026

Una partícula alfa (núcleo de He con dos protones y dos neutrones) se mueve con velocidad constante $v_0=2\cdot {10}^5\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$ a lo largo del eje $+y$. Calcule:

a) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético que habría que aplicar para que la partícula alfa describiera una trayectoria circular de diámetro 2 m en sentido horario en el plano $XY$. [1 punto]

b) El radio de la trayectoria y el sentido de giro de un electrón moviéndose a la misma velocidad bajo la acción del mismo campo magnético. [1 punto]

Datos: $m_p=m_n=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }{q}_p\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{alfa}}\mathbf{\text{describiera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{horario}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{XY.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La partícula alfa tiene dos protones y dos neutrones, de modo que

$m_{\alpha }=2(m_p+m_n)=4\cdot \mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{6,8}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

$q_{\alpha }=2\mathrm{\mid }{q}_p\mathrm{\mid }=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$

Para que la trayectoria sea circular el campo ha de ser perpendicular a la velocidad: como el movimiento ocurre en el plano $XY$, $\vec{B}$ va en el eje $Z$.





La fuerza magnética es entonces centrípeta, y por la segunda ley de Newton:

$q{v}_{0}B=\frac{m_{\alpha }{v}_0^2}{r}\Rightarrow B=\frac{m_{\alpha }{v}_0}{qr}$

El diámetro es de 2 m, así que $r=1\text{ m}$:

$B=\frac{\mathrm{6,8}\cdot {10}^{-27}\cdot 2\cdot {10}^5}{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-19}\cdot 1}=\mathrm{4,25}\cdot {10}^{-3}\text{ T}$

Falta el sentido. Con ${\vec{v}}_0=v_0\vec{\mathrm{ȷ}}$ y $\vec{B}=B\vec{k}$, la fuerza sobre la carga positiva vale

$\vec{F}=q{\vec{v}}_0\times \vec{B}=q{v}_{0}B(\vec{\mathrm{ȷ}}\times \vec{k})=q{v}_{0}B\vec{\mathrm{ı}}$

es decir, apunta hacia $+x$. El centro de la circunferencia queda entonces a la derecha de la partícula y el giro es horario, que es lo que pide el enunciado. Por tanto:

$\vec{B}=\mathrm{4,25}\cdot {10}^{-3}\vec{k}\text{ T}$

un campo de $\mathrm{4,25}\text{ mT}$ perpendicular al plano $XY$ y saliente de él (sentido $+z$).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{giro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{movi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El radio de la trayectoria en un campo magnético uniforme es

$r=\frac{m{v}_0}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}$

y para el electrón, con $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$ y $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$:

$r_e=\frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot 2\cdot {10}^5}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{4,25}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{2,68}\cdot {10}^{-4}\text{ m}$

El radio es de $\mathrm{2,68}\cdot {10}^{-4}\text{ m}$, es decir, unas 3700 veces menor que el de la partícula alfa: el electrón es mucho más ligero, y aunque su carga es la mitad, la razón $m\mathrm{/}\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ es unas 3700 veces más pequeña.

En cuanto al sentido, la carga del electrón es negativa, de modo que con la misma velocidad y el mismo campo la fuerza cambia de signo:

${\vec{F}}_e=(-e){\vec{v}}_0\times \vec{B}=-e{v}_{0}B\vec{\mathrm{ı}}$

apunta hacia $-x$. El centro queda ahora al otro lado y el electrón recorre la circunferencia en sentido antihorario.