Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2023

En la figura se representan las secciones de dos conductores rectilíneos infinitamente largos perpendiculares al plano del papel y recorridos por intensidades de corriente $I_1=1\text{ A}$ e $I_2=2\text{ A}$.



a) Razone en qué región del eje que une ambas corrientes (es decir, a la izquierda de $I_1$, entre $I_1$ e $I_2$, o a la derecha de $I_2$) existirá un punto P donde el campo magnético total creado por $I_1$ e $I_2$ se anule. Realice un esquema vectorial de dicho razonamiento con los campos magnéticos ${\vec{B}}_1$ y ${\vec{B}}_2$ que crean $I_1$ e $I_2$, respectivamente.

b) Determine la posición del punto P de esa región en el que el campo magnético total creado por ambas corrientes se anula.

El módulo del campo de un conductor recto indefinido decae con la distancia:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$

y su dirección, por la regla de la mano derecha, es perpendicular al segmento que une el conductor con el punto: en los puntos del eje, vertical.





Según la figura del enunciado, $I_1$ ENTRA en el papel e $I_2$ SALE. Se recorre el eje región por región.

i) Entre los dos conductores: el campo de $I_1$, que entra, gira en sentido horario y a su derecha apunta hacia abajo; el de $I_2$, que sale, gira en sentido antihorario y a su izquierda apunta también hacia abajo. Los dos van en el mismo sentido y se SUMAN: ahí no puede anularse.

ii) A la derecha de $I_2$: los campos son de sentidos opuestos, pero el conductor más próximo es $I_2$, que además lleva DOBLE intensidad. Su campo es siempre mayor y tampoco pueden cancelarse.

iii) A la izquierda de $I_1$: los campos son de sentidos opuestos y ahora el más próximo es $I_1$, el de menor intensidad. Al alejarse, el campo de $I_1$ decae más deprisa en términos relativos y en algún punto los dos módulos se igualan.

El punto P está, por tanto, a la izquierda de $I_1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula.}}$

Sea $a$ la distancia de P a $I_1$. Su distancia a $I_2$ es entonces $a+d$, con $d=10\text{ cm}$ según la figura. Igualando los módulos:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi a}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi (a+d)}}$

${\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{2}{a+d}}\Rightarrow a+d=2a$

$a=d=10\text{ cm}$

El punto P está sobre el eje, a 10 cm de $I_1$ por el lado opuesto a $I_2$, es decir, a 20 cm de $I_2$. Se comprueba que allí los dos campos valen lo mismo:

$B_1={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 1}{2\pi \cdot \mathrm{0,10}}}=2\cdot {10}^{-6}\text{ T}=B_2={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 2}{2\pi \cdot \mathrm{0,20}}}$