Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2023

Una carga puntual $q=200\mu \text{C}$ tiene una masa de $m=6\cdot {10}^{-6}\text{ g}$ y se mueve con una velocidad $\vec{v}=4\cdot {10}^2\text{ m/s }\vec{\mathrm{ı}}$ según el eje $x$. En un cierto instante $t=0$ se establece un campo magnético $\vec{B}=5\cdot {10}^{-3}\text{ T }\vec{k}$ según el eje $z$.

a) Calcule el vector fuerza magnética $\vec{F}$ que el campo magnético $\vec{B}$ ejerce sobre la carga $q$.

Sabemos que para $t>0$, la trayectoria que va a describir $q$ debido a la fuerza magnética $\vec{F}$ es una circunferencia.

b) Calcule el radio $R$ de dicha trayectoria.

c) Razone en qué plano será recorrida esa trayectoria circular y si dicha trayectoria será recorrida por la carga $q$ en sentido horario o en sentido antihorario.

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Los dos vectores son perpendiculares entre sí, uno según el eje X y otro según el Z, así que el producto vectorial es inmediato:

$\vec{\mathrm{ı}}\times \vec{k}=-\vec{\mathrm{ȷ}}$





$\vec{F}=2\cdot {10}^{-4}(4\cdot {10}^2\vec{\mathrm{ı}})\times (5\cdot {10}^{-3}\vec{k})$

$\vec{F}=-2\cdot {10}^{-4}\cdot 4\cdot {10}^2\cdot 5\cdot {10}^{-3}\vec{\mathrm{ȷ}}$

$\vec{F}=-4\cdot {10}^{-4}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

La fuerza vale $4\cdot {10}^{-4}\text{ N}$ y está dirigida en el sentido negativo del eje Y.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathit{R}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{trayectoria.}}$

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y actúa como fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme:

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

$R={\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-9}\cdot 4\cdot {10}^2}{2\cdot {10}^{-4}\cdot 5\cdot {10}^{-3}}}$

$R=\mathrm{2,4}\text{ m}$

El radio de la trayectoria es de $\mathrm{2,4}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{recorrida}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{recorrida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathit{q}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{horario}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{antihorario.}}$

La fuerza magnética es en todo instante perpendicular al campo, que es constante y va según el eje Z. Por tanto la fuerza no tiene nunca componente Z, la velocidad tampoco la adquiere, y el movimiento queda confinado en el PLANO XY, perpendicular al campo.

En cuanto al sentido, basta mirar el instante inicial. La carga se mueve según $+\vec{\mathrm{ı}}$ y la fuerza apunta según $-\vec{\mathrm{ȷ}}$: el centro de la circunferencia está, por tanto, por debajo de la carga. Una partícula que avanza hacia la derecha con el centro debajo describe la circunferencia en sentido HORARIO, mirando el plano XY desde el semieje Z positivo, que es el punto de vista habitual.

El movimiento es, pues, circular uniforme en el plano XY y recorrido en sentido horario, con un periodo $T={\displaystyle \frac{2\pi m}{qB}}=\mathrm{3,77}\cdot {10}^{-2}\text{ s}$ que no depende de la velocidad.