Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2025

Dos hilos infinitamente largos transportan corrientes $I_1$ e $I_2$ según indica la figura. Calcule la relación entre el valor de ambas corrientes para que el campo magnético total sea cero en cualquier punto del segmento punteado que forma ${30}^{\circ }$ con la horizontal.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{corrientes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{cero}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{punteado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">30</mn><mo\; mathvariant="bold-italic"\; lspace="0em"\; rspace="0em">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{horizontal.}}$










Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera del segmento, con $x>0$ e $y>0$. Su distancia al hilo 1, que va sobre el eje Y, es la abscisa $x$; su distancia al hilo 2, que va sobre el eje X, es la ordenada $y$.

El módulo del campo de un hilo recto indefinido es:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$





Los dos campos son perpendiculares al papel, porque los dos hilos están contenidos en él. Aplicando la regla de la mano derecha:

i) La corriente $I_1$ va en el sentido $+\vec{\mathrm{ȷ}}$ y el punto está a su derecha, luego el campo que crea entra en el papel:

${\vec{B}}_1=-{\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi x}}\vec{k}$

ii) La corriente $I_2$ va en el sentido $+\vec{\mathrm{ı}}$ y el punto está por encima de ella, luego el campo que crea sale del papel:

${\vec{B}}_2=+{\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi y}}\vec{k}$

Al ser de sentidos opuestos, el campo total se anula cuando sus módulos coinciden:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi x}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi y}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{x}}={\displaystyle \frac{I_2}{y}}$

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\displaystyle \frac{y}{x}}$

Y aquí está la clave del problema: el cociente $y\mathrm{/}x$ es la tangente del ángulo que forma con la horizontal la recta que une el punto con el origen. Para los puntos del segmento ese ángulo es siempre ${30}^{\circ }$, de modo que el cociente no depende del punto elegido y la condición se cumple a la vez en todos ellos:

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}=\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=\mathrm{0,577}$

La relación pedida es ${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}=\sqrt{3}\simeq \mathrm{1,73}$, es decir, por el hilo situado sobre el eje Y debe circular una corriente $\sqrt{3}$ veces mayor que por el situado sobre el eje X. Obsérvese que el campo se anula sobre toda una recta, y no solo en un punto, precisamente porque los dos campos decaen con la misma ley $1\mathrm{/}r$.