Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En una clase de 35 alumnos asisten 30 de ellos. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 80 % de los alumnos que asisten a clase y el 10 % de los que no asisten. Se elige un alumno al azar. [2 puntos]

a) Calcule el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura.

b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcule la probabilidad de que haya asistido a clase.

Se nombran los sucesos:

$A\equiv$ el alumno asiste a clase; $P\equiv$ el alumno aprueba todas las asignaturas.

De los 35 alumnos de la clase asisten 30, así que las probabilidades de la primera etapa son proporciones sobre el total:

$P(A)=\dfrac{30}{35}=\dfrac{6}{7},\qquad P\left(\overline{A}\right)=\dfrac{5}{35}=\dfrac{1}{7}$

$P(P|A)=0{,}8,\qquad P\left(P|\overline{A}\right)=0{,}1$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Calcule el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura.}$

Asistir y no asistir forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $P$.

$P(P)=P(A)P(P|A)+P\left(\overline{A}\right)P\left(P|\overline{A}\right)=\dfrac{6}{7}\cdot 0{,}8+\dfrac{1}{7}\cdot 0{,}1$

$P(P)=\dfrac{4{,}8}{7}+\dfrac{0{,}1}{7}=\dfrac{4{,}9}{7}=0{,}7$

Aprueba el $70\ \%$ de los alumnos.

$\textbf{b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcule la probabilidad de que haya asistido a clase.}$

La probabilidad de suspender es la complementaria de la anterior, y dentro de cada rama las condicionadas también se complementan:

$P\left(\overline{P}\right)=1-0{,}7=0{,}3,\qquad P\left(\overline{P}|A\right)=1-0{,}8=0{,}2$

Aplicando el teorema de Bayes:

$P\left(A|\overline{P}\right)=\dfrac{P(A)P\left(\overline{P}|A\right)}{P\left(\overline{P}\right)}=\dfrac{\frac{6}{7}\cdot 0{,}2}{0{,}3}=\dfrac{\frac{1{,}2}{7}}{0{,}3}=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

Sabiendo que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clase es $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$.