Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En una clase de primero de primaria el 50 % de los niños practica natación, el 20 % practica baloncesto y el 5 % ambos deportes. [2 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.

b) Calcule la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.

Se nombran los sucesos:

$N\equiv$ el niño practica natación; $B\equiv$ el niño practica baloncesto.

Los porcentajes del enunciado se traducen en probabilidades:

$P(N)=0{,}5,\qquad P(B)=0{,}2,\qquad P(N\cap B)=0{,}05$

Con la intersección conocida se reparten las cuatro zonas del espacio muestral: solo natación, los dos deportes, solo baloncesto y ninguno.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.}$

No practicar ninguno de los dos es el complementario de practicar alguno, es decir, de la unión. Se calcula primero la unión:

$P(N\cup B)=P(N)+P(B)-P(N\cap B)=0{,}5+0{,}2-0{,}05=0{,}65$

$P\left(\overline{N}\cap\overline{B}\right)=P\left(\overline{N\cup B}\right)=1-0{,}65=0{,}35$

donde se ha usado la ley de De Morgan. La probabilidad de que un niño no practique ninguno de los dos deportes es $0{,}35$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.}$

Se pide una probabilidad condicionada, que por definición es el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso que condiciona:

$P(N|B)=\dfrac{P(N\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}05}{0{,}2}=0{,}25$

Uno de cada cuatro niños que juega al baloncesto practica también natación. Obsérvese que $P(N|B)=0{,}25\neq 0{,}5=P(N)$, de modo que los dos sucesos no son independientes.