Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Sofía va al teatro, al cine o de concierto con probabilidades $0{,}5$, $0{,}2$ y $0{,}3$. El 60 % de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con ellos. Lo mismo le ocurre el 10 % de las veces que va al teatro y el 90 % de las que va de concierto. [2 puntos]

a) ¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?

b) Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?

Se nombran los sucesos:

$T$, $C$ y $K\equiv$ Sofía va al teatro, al cine o de concierto; $E\equiv$ se va de cena con los amigos.

Los datos del enunciado son las probabilidades de cada plan y, dentro de cada uno, la proporción de veces que acaba en cena:

$P(T)=0{,}5,\quad P(C)=0{,}2,\quad P(K)=0{,}3$

$P(E|T)=0{,}1,\quad P(E|C)=0{,}6,\quad P(E|K)=0{,}9$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) ¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?}$

Los tres planes forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $E$.

$P(E)=P(T)P(E|T)+P(C)P(E|C)+P(K)P(E|K)$

$P(E)=0{,}5\cdot 0{,}1+0{,}2\cdot 0{,}6+0{,}3\cdot 0{,}9$

$P(E)=0{,}05+0{,}12+0{,}27=0{,}44$

La probabilidad de que se vaya de cena con los amigos es $0{,}44$.

$\textbf{b) Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?}$

Volver a casa después del espectáculo es no irse de cena, es decir, el suceso contrario del anterior:

$P\left(\overline{E}\right)=1-0{,}44=0{,}56$

Dentro del cine, la proporción de veces que no acaba en cena es la complementaria:

$P\left(\overline{E}|C\right)=1-0{,}6=0{,}4$

Aplicando el teorema de Bayes:

$P\left(C|\overline{E}\right)=\dfrac{P(C)\,P\left(\overline{E}|C\right)}{P\left(\overline{E}\right)}=\dfrac{0{,}2\cdot 0{,}4}{0{,}56}=\dfrac{0{,}08}{0{,}56}=\dfrac{1}{7}\approx 0{,}1429$

Si vuelve a casa después del espectáculo, la probabilidad de que haya ido al cine es $\dfrac{1}{7}\approx 0{,}1429$.