Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule el valor del parámetro real $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten y calcule este punto. [2 puntos]

$r\equiv \{\begin{array}{l}4x+z=a,\\ x+y=2,\end{array}s\equiv \{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ x+2z=2a\mathrm{.}\end{array}$

Las dos rectas vienen dadas en forma implícita, así que se cortan exactamente cuando el sistema formado por las cuatro ecuaciones tiene solución. Antes conviene comprobar que no pueden ser paralelas, calculando los dos directores como productos vectoriales de los normales:

${\vec{v}}_r=(4,0,1)\times (1,1,0)=(0-1,1-0,4-0)=(-1,1,4)$

${\vec{v}}_s=(1,1,1)\times (1,0,2)=(2-0,1-2,0-1)=(2,-1,-1)$

No son proporcionales —la primera componente exigiría el factor $-2$ y la segunda, $-1$—, de modo que las rectas o se cortan o se cruzan, cualquiera que sea $a$.

Se resuelve ahora el sistema. De las dos ecuaciones de $r$ se despejan dos incógnitas en función de $x$:

$y=2-x,z=a-4x$

Se llevan a las dos ecuaciones de $s$. La primera:

$x+(2-x)+(a-4x)=0\Rightarrow 2+a-4x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{a+2}{4}}$

La segunda:

$x+2(a-4x)=2a\Rightarrow x+2a-8x=2a\Rightarrow -7x=0\Rightarrow x=0$

Las dos han de dar el mismo valor de $x$, y esa es exactamente la condición pedida:

${\displaystyle \frac{a+2}{4}}=0\Rightarrow a=-2$

Con ese valor, $x=0$, y de las expresiones despejadas:

$y=2-0=2,z=-2-0=-2$

Las rectas se cortan para $a=-2$, y el punto de corte es $(0,2,-2)$. Se comprueba en las cuatro ecuaciones: $4\cdot 0+(-2)=-2=a$, $0+2=2$, $0+2-2=0$ y $0+2\cdot (-2)=-4=2a$.

Para cualquier otro valor de $a$ el sistema es incompatible y, al no ser paralelas, las rectas se cruzan.