Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Halle la ecuación de la recta tal que: [2 puntos]

a) pasa por el punto $P(1,1,1)$;

b) es paralela al plano $\pi \equiv x+y-2z-3=0$;

c) es perpendicular a la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x=3+\lambda ,\\ y=2-\lambda ,\\ z=1-2\lambda \mathrm{.}\end{array}$

La recta buscada, que se llamará $s$, queda determinada por el punto $P$ y por una dirección que ha de cumplir a la vez las dos últimas condiciones.

De los datos se leen el normal del plano y el director de $r$:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-2),{\vec{v}}_r=(1,-1,-2)$

Ser paralela al plano obliga a que el director de $s$ sea perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }$; ser perpendicular a $r$, a que lo sea a ${\vec{v}}_r$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial:

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 1& -1& -2\end{array}\mid =(-2-2,-2+2,-1-1)=(-4,0,-2)$

Se simplifica dividiendo entre $-2$:

${\vec{v}}_s=(2,0,1)$

Se comprueban las dos condiciones: $(2,0,1)\cdot (1,1,-2)=2+0-2=0$ y $(2,0,1)\cdot (1,-1,-2)=2+0-2=0$.

Falta asegurarse de que la recta es realmente paralela al plano y no está contenida en él, para lo cual el punto no puede pertenecer al plano:

$1+1-2\cdot 1-3=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow P\mathrm{\notin }\pi$



Con el punto y el director:

$s:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1\\ z=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$

o, en forma continua,

$s\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}},y=1$

donde la $y$ se escribe aparte porque la componente correspondiente del director es nula.