Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Una bolsa contiene 4 bolas negras y 2 blancas. Otra bolsa contiene 2 bolas negras y 6 blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. [2 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.

b) Sabiendo que la bola es blanca, calcule la probabilidad de que sea de la primera bolsa.

Se nombran los sucesos:

$B_{1}$ y $B_{2}\equiv$ se elige la primera o la segunda bolsa; $N$ y $N'\equiv$ la bola extraída es negra o blanca.

La primera bolsa tiene 4 negras y 2 blancas, seis en total; la segunda, 2 negras y 6 blancas, ocho en total. Como la bolsa se elige al azar entre las dos,

$P(B_{1})=P(B_{2})=\dfrac{1}{2}$

$P(N'|B_{1})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\qquad P(N'|B_{2})=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$

El experimento tiene dos etapas —primero la bolsa y después la bola—, así que se organiza en un árbol:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.}$

Las dos bolsas forman un sistema completo de sucesos, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en blanca.

$P(N')=P(B_{1})P(N'|B_{1})+P(B_{2})P(N'|B_{2})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}$

$P(N')=\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{24}+\dfrac{9}{24}=\dfrac{13}{24}\approx 0{,}5417$

La probabilidad de que la bola extraída sea blanca es $\dfrac{13}{24}\approx 0{,}5417$.

$\textbf{b) Sabiendo que la bola es blanca, calcule la probabilidad de que sea de la primera bolsa.}$

Ahora la condición va en sentido contrario al de los datos, así que se aplica el teorema de Bayes:

$P(B_{1}|N')=\dfrac{P(B_{1})P(N'|B_{1})}{P(N')}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{13}{24}}=\dfrac{4}{13}\approx 0{,}3077$

Sabiendo que la bola es blanca, la probabilidad de que proceda de la primera bolsa es $\dfrac{4}{13}\approx 0{,}3077$: menos de un tercio, porque la segunda bolsa es mucho más rica en blancas.