Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Estudie la posible dependencia de los sucesos $A$ y $B$ en los siguientes casos: [2 puntos]

i) $A$ y $B$ son incompatibles y ambos sucesos de probabilidad no nula.

ii) $B$ está incluido en $A$, y $B$ es un suceso de probabilidad no nula.

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes cuando la probabilidad de que ocurran los dos es el producto de sus probabilidades:

$A \ \text{y}\ B \ \text{independientes} \iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

En los dos casos que plantea el enunciado se conoce la intersección, así que basta comparar los dos miembros de esa igualdad.

$\textbf{i) } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son incompatibles y ambos sucesos de probabilidad no nula.}$

Que sean incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez:

$A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cap B)=0$

Por otro lado, el producto de dos números estrictamente positivos es estrictamente positivo:

$P(A)>0 \ \text{y}\ P(B)>0 \Rightarrow P(A)\cdot P(B)>0$

$P(A\cap B)=0\neq P(A)\cdot P(B)$

Los sucesos son, por tanto, dependientes. Tiene sentido: si se sabe que ha ocurrido $A$, se sabe con certeza que $B$ no ha ocurrido, de modo que $A$ informa sobre $B$. En efecto, $P(B|A)=0\neq P(B)$.

$\textbf{ii) } \boldsymbol{B}\textbf{ está incluido en } \boldsymbol{A}\textbf{, y } \boldsymbol{B}\textbf{ es un suceso de probabilidad no nula.}$

Si $B\subset A$, todo resultado de $B$ está en $A$, luego la intersección es el propio $B$:

$A\cap B=B \Rightarrow P(A\cap B)=P(B)$

La condición de independencia se escribe entonces

$P(B)=P(A)\cdot P(B)$

y como $P(B)\neq 0$ se puede dividir por él:

$1=P(A)$

De modo que los sucesos son dependientes salvo en el caso extremo en que $P(A)=1$, en el que resultan independientes. Fuera de ese caso, saber que ha ocurrido $B$ garantiza que ha ocurrido $A$: $P(A|B)=1\neq P(A)$.

En resumen: en el primer caso los sucesos son siempre dependientes; en el segundo lo son también, excepto si $A$ es un suceso de probabilidad 1.