Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20 % estudian Matemáticas, el 35 % Medicina y el 45 % Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5 %, 12 % y 18 %. Se elige un alumno al azar. Halle la probabilidad de que: [2 puntos]

i) Finalice sus estudios.

ii) Estudie Medicina, si no finaliza sus estudios.

Se nombran los sucesos:

$M$, $D$ y $Q\equiv$ el alumno estudia Matemáticas, Medicina o Arquitectura; $F\equiv$ el alumno finaliza sus estudios.

Los datos del enunciado son el reparto entre las tres carreras y, dentro de cada una, la proporción de alumnos que terminan:

$P(M)=0{,}20,\quad P(D)=0{,}35,\quad P(Q)=0{,}45$

$P(F|M)=0{,}05,\quad P(F|D)=0{,}12,\quad P(F|Q)=0{,}18$

El árbol del problema es:



$\textbf{i) Finalice sus estudios.}$

Las tres carreras forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $F$.

$P(F)=P(M)P(F|M)+P(D)P(F|D)+P(Q)P(F|Q)$

$P(F)=0{,}20\cdot 0{,}05+0{,}35\cdot 0{,}12+0{,}45\cdot 0{,}18$

$P(F)=0{,}01+0{,}042+0{,}081=0{,}133$

La probabilidad de que un alumno finalice sus estudios es $0{,}133$, un $13{,}3\ \%$.

$\textbf{ii) Estudie Medicina, si no finaliza sus estudios.}$

Ahora la condición es el suceso contrario del anterior, cuya probabilidad se obtiene por complementario:

$P\left(\overline{F}\right)=1-0{,}133=0{,}867$

Dentro de Medicina, la proporción de los que no terminan es también la complementaria:

$P\left(\overline{F}|D\right)=1-0{,}12=0{,}88$

Aplicando el teorema de Bayes:

$P\left(D|\overline{F}\right)=\dfrac{P(D)\,P\left(\overline{F}|D\right)}{P\left(\overline{F}\right)}=\dfrac{0{,}35\cdot 0{,}88}{0{,}867}=\dfrac{0{,}308}{0{,}867}\approx 0{,}3552$

Sabiendo que el alumno no finaliza sus estudios, la probabilidad de que estudie Medicina es de aproximadamente $0{,}3552$.