Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

La estadística de un equipo de baloncesto en un partido desvela que el 45 % de los puntos conseguidos por el equipo corresponde al jugador número 23, de los cuales el 65 % son triples; el 15 % al jugador número 6, de los cuales el 25 % son triples; y el resto de la puntuación, siendo el 10 % triples, corresponde a otros jugadores del equipo. Halle la probabilidad de que: [2 puntos]

i) Una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple.

ii) Sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.

Se nombran los sucesos:

$J$, $S$ y $O\equiv$ la canasta la consigue el jugador número 23, el número 6 u otro jugador; $T\equiv$ la canasta es un triple.

El enunciado reparte la puntuación del equipo entre los tres grupos y, dentro de cada uno, indica qué proporción son triples. El resto hasta el 100 % corresponde a los demás jugadores:

$P(J)=0{,}45,\quad P(S)=0{,}15,\quad P(O)=1-0{,}45-0{,}15=0{,}40$

$P(T|J)=0{,}65,\quad P(T|S)=0{,}25,\quad P(T|O)=0{,}10$

El árbol del problema es:



$\textbf{i) Una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple.}$

Los tres grupos forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $T$.

$P(T)=P(J)P(T|J)+P(S)P(T|S)+P(O)P(T|O)$

$P(T)=0{,}45\cdot 0{,}65+0{,}15\cdot 0{,}25+0{,}40\cdot 0{,}10$

$P(T)=0{,}2925+0{,}0375+0{,}04=0{,}37$

La probabilidad de que una jugada acabe en triple es $0{,}37$, es decir, un $37\ \%$.

$\textbf{ii) Sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.}$

La condición va ahora en sentido contrario al de los datos, de modo que se aplica el teorema de Bayes:

$P(J|T)=\dfrac{P(J)P(T|J)}{P(T)}=\dfrac{0{,}2925}{0{,}37}\approx 0{,}7905$

Sabiendo que la canasta ha sido un triple, la probabilidad de que la haya conseguido el jugador número 23 es de aproximadamente $0{,}7905$, casi un $79\ \%$.