Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

El 2 % de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable: en el 98 % de los casos da positivo en personas enfermas y en el 4 % de los casos da positivo en personas sanas. Halle: [2 puntos]

i) La probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.

ii) Habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.

Se nombran los sucesos:

$E\equiv$ la persona está enferma; $S=E'\equiv$ la persona está sana; $+\equiv$ la prueba da positivo; $-\equiv$ la prueba da negativo.

Los datos del enunciado son las probabilidades a priori y las condicionadas de la prueba:

$P(E)=0{,}02,\quad P(S)=0{,}98,\quad P(+|E)=0{,}98,\quad P(+|S)=0{,}04$

y, por complementario dentro de cada rama, $P(-|E)=0{,}02$ y $P(-|S)=0{,}96$. El experimento se hace en dos etapas —primero el estado de la persona y después el resultado de la prueba—, así que se organiza en un árbol:



$\textbf{i) La probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.}$

Se pide $P(S|+)$, una probabilidad condicionada en sentido contrario al de los datos: es el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad total de dar positivo, que se obtiene sumando las dos ramas del árbol que acaban en $+$:

$P(+)=P(E)\cdot P(+|E)+P(S)\cdot P(+|S)=0{,}02\cdot 0{,}98+0{,}98\cdot 0{,}04$

$P(+)=0{,}0196+0{,}0392=0{,}0588$

$P(S|+)=\dfrac{P(S)\cdot P(+|S)}{P(+)}=\dfrac{0{,}0392}{0{,}0588}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

La probabilidad de estar sano habiendo dado positivo es $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$: dos de cada tres positivos son falsos positivos, y es que la enfermedad es rara y los sanos son muchísimos más.

$\textbf{ii) Habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.}$

Se procede igual con la otra rama. La probabilidad total de dar negativo es

$P(-)=P(E)\cdot P(-|E)+P(S)\cdot P(-|S)=0{,}02\cdot 0{,}02+0{,}98\cdot 0{,}96$

$P(-)=0{,}0004+0{,}9408=0{,}9412$

$P(E|-)=\dfrac{P(E)\cdot P(-|E)}{P(-)}=\dfrac{0{,}0004}{0{,}9412}\approx 0{,}000425$

La probabilidad de estar enfermo habiendo dado negativo es de aproximadamente $0{,}000425$, es decir, unos 4 casos por cada 10 000 pruebas negativas.