Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Dados los planos de ecuaciones [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}ax+y+z=a^2,\\ x-y+z=1,\\ 3x-y-z=1,\\ 6x-y+z=3a,\end{array}$

analice su posición relativa según los valores del parámetro $a$.

Son cuatro planos y tres incógnitas, de modo que el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas y la matriz de coeficientes es $4\times 3$: su rango vale como mucho 3.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 3& -1& -1\\ 6& -1& 1\end{array}\right),M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 1& a^2\\ 1& -1& 1& 1\\ 3& -1& -1& 1\\ 6& -1& 1& 3a\end{array}\right)$

Conviene empezar por las tres últimas filas, porque no dependen del parámetro:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 3& -1& -1\\ 6& -1& 1\end{array}\mid =1(-1-1)+1(3+6)+1(-3+6)=-2+9+3=10\mathrm{\ne }0$

Por tanto $\mathrm{ran}(M)=3$ cualquiera que sea $a$, y los tres últimos planos se cortan siempre en un único punto. Se calcula ese punto en función de $a$. Restando la segunda de las tres ecuaciones a la tercera:

$(6x-y+z)-(x-y+z)=3a-1\Rightarrow 5x=3a-1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3a-1}{5}}$

Sumando las dos primeras de esas tres:

$4x-2y=2\Rightarrow y=2x-1={\displaystyle \frac{6a-7}{5}}$

Y de $x-y+z=1$:

$z=1-x+y=1-{\displaystyle \frac{3a-1}{5}}+{\displaystyle \frac{6a-7}{5}}={\displaystyle \frac{3a-1}{5}}$

$P({\displaystyle \frac{3a-1}{5}},{\displaystyle \frac{6a-7}{5}},{\displaystyle \frac{3a-1}{5}})$

Los cuatro planos tendrán un punto común únicamente si $P$ pertenece también al primero. Se impone la condición:

$a\cdot {\displaystyle \frac{3a-1}{5}}+{\displaystyle \frac{6a-7}{5}}+{\displaystyle \frac{3a-1}{5}}=a^2$

$3a^2-a+6a-7+3a-1=5a^2$

$2a^2-8a+8=0\Rightarrow a^2-4a+4=0\Rightarrow (a-2{)}^2=0\Rightarrow a=2$

Se distinguen entonces dos casos:



El punto $P$ es $(\frac{5}{5},\frac{5}{5},\frac{5}{5})=(1,1,1)$ y pertenece a los cuatro planos, como se comprueba directamente: $2+1+1=4=2^2$, $1-1+1=1$, $3-1-1=1$ y $6-1+1=6=3\cdot 2$. Los rangos son $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: sistema compatible determinado. Los cuatro planos se cortan en el único punto $(1,1,1)$.



El punto $P$ no está en el primer plano, luego no hay ningún punto común a los cuatro. Ahora $\mathrm{ran}(M)=3$ pero $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=4$, y el sistema es incompatible. Los tres últimos planos siguen cortándose en $P$ y el primero pasa de largo, sin contener ese punto.

Merece la pena señalar un caso particular dentro de este: para $a=-3$ el vector normal del primer plano, $(-3,1,1)$, es opuesto al del tercero, $(3,-1,-1)$, de modo que esos dos planos son paralelos; y son distintos, porque el primero se escribe $-3x+y+z=9$ y el tercero, $-3x+y+z=-1$.