Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Halle el punto simétrico del punto $A(0,2,3)$ respecto al plano $\pi$ de ecuación $x+y-z=4$. [2 puntos]

El simétrico de un punto respecto de un plano se construye en tres fases: la recta perpendicular al plano por el punto, el pie de esa perpendicular y, por último, el simétrico como extremo del segmento del que el pie es punto medio.

i) Se construye la recta $r$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector director es el normal del plano:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-1)$

$r:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array},t\in \mathbb{R}$

ii) Se calcula el pie $M$ como intersección de $r$ con $\pi$, sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano:

$t+(2+t)-(3-t)=4$

$3t-1=4\Rightarrow t={\displaystyle \frac{5}{3}}$

$M({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{11}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$

iii) Basta razonar que $M$ es el punto medio del segmento $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$, de donde $A^{\mathrm{\prime }}=2M-A$:

$A^{\mathrm{\prime }}=(2\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}-0,2\cdot {\displaystyle \frac{11}{3}}-2,2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}-3)=({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$



Se comprueba el resultado sustituyendo los dos puntos en $x+y-z-4$: para $A$ se obtiene $0+2-3-4=-5$ y para $A^{\mathrm{\prime }}$, $\frac{10}{3}+\frac{16}{3}+\frac{1}{3}-4=9-4=5$. Los valores son opuestos, luego los dos puntos están a la misma distancia del plano y a distinto lado.

El punto simétrico es $A^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{16}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$.