Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Halle la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x+y+z=0$ y que contenga al punto $P(1,0,1)$. ¿Es única dicha recta? Razone la respuesta. [2 puntos]

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano y el punto de paso no pertenece al plano. Aquí

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$

y el punto no está en el plano, porque $1+0+1=2\mathrm{\ne }0$.

La condición sobre el director $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ es una sola ecuación:

$\vec{v}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0\Rightarrow v_1+v_2+v_3=0$

Basta elegir un vector que la cumpla; por ejemplo $\vec{v}=(1,-1,0)$, con $1-1+0=0$. La recta pedida es

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=-\lambda \\ z=1\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

o, en forma continua, ${\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{-1}}$ con $z=1$.

$\mathbf{\text{¿Es}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{recta?}}$

No lo es, y hay infinitas. La condición $v_1+v_2+v_3=0$ es una única ecuación lineal homogénea con tres incógnitas: sus soluciones forman un subespacio vectorial de dimensión 2, generado por ejemplo por $(1,-1,0)$ y $(1,0,-1)$. Cada dirección no proporcional de ese subespacio da una recta distinta que pasa por $P$ y es paralela a $\pi$.



Geométricamente todas esas rectas son las del plano que pasa por $P$ y es paralelo a $\pi$, es decir, el plano $x+y+z=2$: cualquier recta contenida en él y que pase por $P$ cumple lo pedido. Forman un haz de infinitas rectas.