Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Determine la posición relativa de los tres planos, según los valores del parámetro $m$: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}mx+y+z=1,\\ x+my+z=m,\\ x+y+mz=m^2\mathrm{.}\end{array}$

La posición relativa de los tres planos es el carácter del sistema que forman sus ecuaciones, de modo que se discute comparando los rangos.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right),M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& m\\ 1& 1& m& m^2\end{array}\right)$

Las tres filas de $M$ suman lo mismo, así que se suman a la primera columna las otras dos y se saca el factor común:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(m+2)\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\mid =(m+2)\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& m-1& 0\\ 0& 0& m-1\end{array}\mid =(m+2)(m-1{)}^2$

donde se ha restado la primera fila a las otras dos.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m=1\text{o}m=-2$



Entonces $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado. Sumando las tres ecuaciones:

$(m+2)(x+y+z)=1+m+m^2\Rightarrow x+y+z={\displaystyle \frac{m^2+m+1}{m+2}}$

La primera ecuación es $(x+y+z)+(m-1)x=1$, de donde

$(m-1)x=1-{\displaystyle \frac{m^2+m+1}{m+2}}={\displaystyle \frac{1-m^2}{m+2}}\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{m+1}{m+2}}$

y procediendo igual con las otras dos ecuaciones:

$y={\displaystyle \frac{1}{m+2}},z={\displaystyle \frac{(m+1{)}^2}{m+2}}$



Las tres ecuaciones se convierten en la misma, $x+y+z=1$, de manera que $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=1<3$: sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad. Los tres planos son el mismo plano.



El sistema queda

$\{\begin{array}{l}-2x+y+z=1\\ x-2y+z=-2\\ x+y-2z=4\end{array}$

El menor $\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{ran}(M)=2$. Sumando las tres ecuaciones los primeros miembros se cancelan y queda $0=3$, que es imposible, luego $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3$ y el sistema es incompatible: no hay ningún punto común a los tres planos.

Ahora bien, los tres vectores normales, $(-2,1,1)$, $(1,-2,1)$ y $(1,1,-2)$, no son proporcionales dos a dos, así que no hay dos planos paralelos: cada par se corta en una recta y las tres rectas de intersección son paralelas entre sí. Los planos determinan una superficie prismática de base triangular.