Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Determine la posición relativa de la recta ${\displaystyle \frac{x-3}{0}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-5}{1}}$ y el plano de ecuación $3x+2y-11z+3=0$. [2 puntos]

De la ecuación continua de la recta se leen directamente un punto y un vector director; el cero del primer denominador no es una división, sino la manera convencional de decir que la primera componente del director es nula.

$r:A(3,-1,5),{\vec{v}}_r=(0,1,1)$

$\pi :{\vec{n}}_{\pi }=(3,2,-11)$

Lo que decide la posición relativa es si el director de la recta es perpendicular al normal del plano, es decir, si su producto escalar se anula.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot (-11)=-9\mathrm{\ne }0$

Como no se anula, la recta no es paralela al plano ni está contenida en él: la recta y el plano son secantes y se cortan en un único punto.



Para hallarlo se escribe la recta en paramétricas y se sustituye en la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1+t\\ z=5+t\end{array},t\in \mathbb{R}$

$3\cdot 3+2(-1+t)-11(5+t)+3=0$

$9-2+2t-55-11t+3=0\Rightarrow -45-9t=0\Rightarrow t=-5$

$x=3,y=-1-5=-6,z=5-5=0$

Se comprueba en la ecuación del plano: $3\cdot 3+2\cdot (-6)-11\cdot 0+3=9-12+3=0$.

La recta y el plano son secantes, y se cortan en el punto $(3,-6,0)$.