Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Dados los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A)=0{,}27$, $P(B')=0{,}82$ y $P(A \cup B)=0{,}4$. Determine si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles. Calcule $P\left((A \cup B)'\right)$ y $P(A' \cup B')$, donde $A'$ significa suceso complementario de $A$. [2 puntos]

$\textbf{Dados los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ con } \boldsymbol{P(A)=0{,}27}\textbf{, } \boldsymbol{P(B')=0{,}82}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cup B)=0{,}4}\textbf{, determine si son compatibles o incompatibles y calcule } \boldsymbol{P\left((A\cup B)'\right)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A'\cup B')}\textbf{. [2 puntos]}$

Lo primero es pasar el dato del complementario al suceso directo, porque las fórmulas de la unión trabajan con este:

$P(B)=1-P(B')=1-0{,}82=0{,}18$

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, es decir, cuando su intersección es el suceso imposible. La probabilidad de la intersección se despeja de la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}4=0{,}27+0{,}18-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)=0{,}45-0{,}4=0{,}05$

Como $P(A\cap B)=0{,}05\neq 0$, la intersección no es el suceso imposible y los sucesos $A$ y $B$ son compatibles.

Con las cuatro zonas ya determinadas el reparto de probabilidades queda así:



La primera probabilidad pedida es la del complementario de la unión:

$P\left((A\cup B)'\right)=1-P(A\cup B)=1-0{,}4=0{,}6$

Para la segunda se aplican las leyes de De Morgan, que convierten la unión de los complementarios en el complementario de la intersección:

$P(A'\cup B')=P\left((A\cap B)'\right)=1-P(A\cap B)=1-0{,}05=0{,}95$

Los sucesos son compatibles, $P\left((A\cup B)'\right)=0{,}6$ y $P(A'\cup B')=0{,}95$.