Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

En el grado de Matemáticas, las probabilidades de aprobar las asignaturas Métodos Algorítmicos en Matemáticas, Estadística y Bases de datos son del 60 %, 75 % y 80 %, respectivamente.

a) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de aprobar las tres. [0,5 puntos]

b) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de suspender solo una de las tres. [0,75 puntos]

c) Elegido al azar un estudiante que ha suspendido solo una de las tres, calcule la probabilidad de que haya sido Métodos Algorítmicos en Matemáticas. [0,75 puntos]

Se nombran los sucesos:

$M \equiv$ aprobar Métodos Algorítmicos en Matemáticas,

$E \equiv$ aprobar Estadística, $B \equiv$ aprobar Bases de datos.

Del enunciado se leen las tres probabilidades, y se supone —como es habitual en este tipo de problema— que los tres resultados son independientes entre sí:

$P(M)=0{,}6;\qquad P(E)=0{,}75;\qquad P(B)=0{,}8$

$P(\overline{M})=0{,}4;\qquad P(\overline{E})=0{,}25;\qquad P(\overline{B})=0{,}2$

$\textbf{a) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de aprobar las tres. [0,5 puntos]}$

Al ser independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(M\cap E\cap B)=P(M)\cdot P(E)\cdot P(B)$

$P(M\cap E\cap B)=0{,}6\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8=0{,}36$

La probabilidad de aprobar las tres asignaturas es $0{,}36$, es decir, un 36 %.

$\textbf{b) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de suspender solo una de las tres. [0,75 puntos]}$

Suspender exactamente una asignatura puede ocurrir de tres maneras incompatibles, según cuál sea la suspendida. Se calcula cada una y se suman.

$P\left(\overline{M}\cap E\cap B\right)=0{,}4\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8=0{,}24$

$P\left(M\cap\overline{E}\cap B\right)=0{,}6\cdot 0{,}25\cdot 0{,}8=0{,}12$

$P\left(M\cap E\cap\overline{B}\right)=0{,}6\cdot 0{,}75\cdot 0{,}2=0{,}09$

$\text{Suspende}$	$\text{Producto}$	$\text{Probabilidad}$
Solo $M$	$0{,}4\cdot 0{,}75\cdot 0{,}8$	$0{,}24$
Solo $E$	$0{,}6\cdot 0{,}25\cdot 0{,}8$	$0{,}12$
Solo $B$	$0{,}6\cdot 0{,}75\cdot 0{,}2$	$0{,}09$
Total		$0{,}45$

$P(\text{suspender solo una})=0{,}24+0{,}12+0{,}09=0{,}45$

La probabilidad de suspender solo una de las tres asignaturas es $0{,}45$, es decir, un 45 %.

$\textbf{c) Elegido al azar un estudiante que ha suspendido solo una de las tres, calcule la probabilidad de que haya sido Métodos Algorítmicos en Matemáticas. [0,75 puntos]}$

Es una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los estudiantes que han suspendido exactamente una asignatura, y de ellos interesan los que suspendieron la primera.

$P\left(\overline{M}\,/\,\text{solo una}\right)=\dfrac{P\left(\overline{M}\cap E\cap B\right)}{P(\text{suspender solo una})}=\dfrac{0{,}24}{0{,}45}$

$=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}5333$

Sabiendo que el estudiante ha suspendido solo una asignatura, la probabilidad de que fuera Métodos Algorítmicos en Matemáticas es $\dfrac{8}{15}\approx 0{,}5333$, algo más de la mitad: es la asignatura con menor porcentaje de aprobados y por eso concentra la mayor parte de los suspensos únicos.