Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Dos cargas eléctricas de 1 μC se sitúan, respectivamente, en los puntos $A(0,2)\text{ m}$ y $B(0,-2)\text{ m}$. ¿Qué carga eléctrica debe colocarse en el punto $C(-2,0)\text{ m}$ para que el campo eléctrico en el punto $D(2,0)\text{ m}$ sea nulo?

Dato: $K_0=1\mathrm{/}(4\pi {\epsilon }_0)=\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$

Primero se calcula el campo que crean en $D$ las dos cargas de $1\mu \text{C}$. Las distancias desde $A(0,2)$ y desde $B(0,-2)$ hasta $D(2,0)$ son iguales:

$r_{AD}=r_{BD}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ m}\Rightarrow r^2=8{\text{m}}^2$

$E_A=E_B=K_0{\displaystyle \frac{q}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\cdot {10}^{-6}}{8}}=1125\text{ N/C}$

Las dos cargas son positivas, así que sus campos se alejan de ellas: ${\vec{E}}_A$ apunta hacia abajo y a la derecha, y ${\vec{E}}_B$ hacia arriba y a la derecha, los dos formando ${45}^{\circ }$ con el eje $X$. Las componentes verticales se cancelan por simetría y quedan solo las horizontales:

$E_{AB}=2E_A\cos {45}^{\circ }=2\cdot 1125\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=1591\text{ N/C}$

${\vec{E}}_{AB}=1591\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

Para que el campo total en $D$ sea nulo, la carga colocada en $C(-2,0)$ tiene que crear allí un campo igual y de sentido contrario, es decir, dirigido hacia $-\vec{\mathrm{ı}}$. Como $C$ está a la izquierda de $D$, ese campo apunta hacia $C$, y eso solo lo consigue una carga NEGATIVA.

La distancia entre $C$ y $D$ es de 4 m, así que:

$K_0{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{Q}_C\mathrm{\mid }}{4^2}}=1591\Rightarrow \mathrm{\mid }{Q}_C\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1591\cdot 16}{\mathrm{9,00}\cdot {10}^9}}$

$\mathrm{\mid }{Q}_C\mathrm{\mid }=\mathrm{2,83}\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

$Q_C=-\mathrm{2,83}\mu \text{C}$