Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Se tiene una carga de 10 nC situada en el punto $(0,0)$ del plano XY. En un punto $A$, el campo creado por dicha carga es $\vec{E}=-25\vec{\mathrm{ı}}+25\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}{\text{C}}^{-1}$. Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 nC desde el punto $A$ al punto $(0,3)\text{ m}$.

Dato: $K_0=1\mathrm{/}(4\pi {\epsilon }_0)=\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$

Lo primero es averiguar a qué distancia de la carga está el punto $A$, y para eso basta con el módulo del campo que allí se mide:

$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_A\mathrm{\mid }=\sqrt{{25}^2+{25}^2}=25\sqrt{2}=\mathrm{35,4}\text{ N/C}$

$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_A\mathrm{\mid }=K_0{\displaystyle \frac{q}{r_A^2}}\Rightarrow r_A=\sqrt{{\displaystyle \frac{K_{0}q}{\mathrm{\mid }{\vec{E}}_A\mathrm{\mid }}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\cdot {10}^{-8}}{\mathrm{35,4}}}}$

$r_A=\mathrm{1,60}\text{ m}$

Con esa distancia se calcula el potencial que la carga crea en $A$:

$V_A=K_0{\displaystyle \frac{q}{r_A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\cdot {10}^{-8}}{\mathrm{1,60}}}=\mathrm{56,4}\text{ V}$

El punto de llegada, $(0,3)$, está a 3 m de la carga:

$V_B=K_0{\displaystyle \frac{q}{r_B}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,00}\cdot {10}^9\cdot {10}^{-8}}{3}}=\mathrm{30,0}\text{ V}$

El trabajo necesario para llevar la carga de prueba de un punto a otro es el aumento de su energía potencial:

$W=q^{\mathrm{\prime }}(V_B-V_A)=2\cdot {10}^{-9}(\mathrm{30,0}-\mathrm{56,4})$

$W=-\mathrm{5,28}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$

El signo negativo indica que no hay que aportar energía: las dos cargas son positivas, se repelen, y al alejarse la de prueba es el propio campo el que realiza un trabajo positivo de $\mathrm{5,28}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$. El desplazamiento es espontáneo.