Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Una carga total $Q$ se divide en dos cargas $q_1$ y $q_2$, que se sitúan a una distancia fija $d$ entre ellas. ¿Qué valor debe tener cada carga para que la fuerza entre ambas sea máxima?

La carga total se reparte entre las dos, de modo que si una vale $q_1$, la otra vale lo que falta:

$q_2=Q-q_1$

La fuerza entre ellas, separadas una distancia fija $d$, es la de Coulomb:

$F=K_0{\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{d^2}}={\displaystyle \frac{K_0}{d^2}}{q}_1(Q-q_1)$

Como $K_0$, $Q$ y $d$ son constantes, la fuerza solo depende de $q_1$, y lo hace a través de una parábola invertida. Su máximo se obtiene derivando e igualando a cero:

${\displaystyle \frac{dF}{d{q}_1}}={\displaystyle \frac{K_0}{d^2}}(Q-2q_1)=0$

$q_1={\displaystyle \frac{Q}{2}}$

Y entonces la otra carga vale lo mismo:

$q_2=Q-{\displaystyle \frac{Q}{2}}={\displaystyle \frac{Q}{2}}$

La fuerza es máxima cuando la carga se reparte a partes iguales, y su valor máximo es:

$F_{\max }={\displaystyle \frac{K_0}{d^2}}\cdot {\displaystyle \frac{Q}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{Q}{2}}={\displaystyle \frac{K_0{Q}^2}{4d^2}}$

Que se trata de un máximo y no de un mínimo se ve en la propia figura, y también en la segunda derivada, que vale $-2K_0\mathrm{/}{d}^2$ y es negativa.