Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Los estudiantes que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un 50 % de Andalucía, un 15 % de Baleares y un 35 % provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes: 15 % de Andalucía, 10 % de Baleares y 5 % de Castilla y León.

a) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina. [1 punto]

b) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León? [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el estudiante procede de Andalucía; $B\equiv$ procede de Baleares; $C\equiv$ procede de Castilla y León; $N\equiv$ el estudiante no consigue el título.

Las tres procedencias forman un sistema completo de sucesos, y los porcentajes de fracaso están referidos a cada una, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(A)=0{,}50 \qquad P(B)=0{,}15 \qquad P(C)=0{,}35$

$P(N|A)=0{,}15 \qquad P(N|B)=0{,}10 \qquad P(N|C)=0{,}05$



$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina. [1 punto]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en fracaso, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(A)\,P(N|A)+P(B)\,P(N|B)+P(C)\,P(N|C)$

$P(N)=0{,}50\cdot 0{,}15+0{,}15\cdot 0{,}10+0{,}35\cdot 0{,}05$

$P(N)=0{,}075+0{,}015+0{,}0175=0{,}1075$

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar no consiga el título es $0{,}1075$, es decir, algo menos del $11\%$.

$\textbf{b) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León? [1 punto]}$

Hay que comparar dos probabilidades a posteriori, que se calculan con el teorema de Bayes y comparten denominador.

$P(A|N)=\dfrac{P(A)\,P(N|A)}{P(N)}=\dfrac{0{,}075}{0{,}1075}=\dfrac{30}{43}\approx 0{,}698$

$P(C|N)=\dfrac{P(C)\,P(N|C)}{P(N)}=\dfrac{0{,}0175}{0{,}1075}=\dfrac{7}{43}\approx 0{,}163$

$\dfrac{30}{43}>\dfrac{7}{43}$

Es mucho más probable que el alumno proceda de Andalucía: casi siete de cada diez de los que no consiguen el título salen de allí, porque es la comunidad que más estudiantes aporta y, además, la que tiene el mayor porcentaje de fracaso.