Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es $0{,}6$, $0{,}3$ y $0{,}1$, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es $0{,}25$ para los barcos de bajo tonelaje, $0{,}4$ para los de tonelaje medio y $0{,}6$ para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. [1 punto]

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$B\equiv$ el barco es de tonelaje bajo; $M\equiv$ es de tonelaje medio; $A\equiv$ es de tonelaje alto; $N\equiv$ el barco necesita mantenimiento.

Los tres tonelajes forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades de mantenimiento están referidas a cada uno, de modo que son condicionadas:

$P(B)=0{,}6 \qquad P(M)=0{,}3 \qquad P(A)=0{,}1$

$P(N|B)=0{,}25 \qquad P(N|M)=0{,}4 \qquad P(N|A)=0{,}6$



$\textbf{a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. [1 punto]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en mantenimiento, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(B)\,P(N|B)+P(M)\,P(N|M)+P(A)\,P(N|A)$

$P(N)=0{,}6\cdot 0{,}25+0{,}3\cdot 0{,}4+0{,}1\cdot 0{,}6$

$P(N)=0{,}15+0{,}12+0{,}06=0{,}33$

La probabilidad de que un barco que llega al puerto necesite mantenimiento es $0{,}33$.

$\textbf{b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. [1 punto]}$

La condición está al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(M|N)=\dfrac{P(M\cap N)}{P(N)}=\dfrac{P(M)\,P(N|M)}{P(N)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}33}$

$P(M|N)=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}364$

Sabiendo que el barco ha necesitado mantenimiento, la probabilidad de que sea de tonelaje medio es $\dfrac{4}{11}\approx 0{,}364$, algo mayor que el $30\%$ que representan esos barcos entre los que llegan al puerto.