Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente:

El 48 % son blancas y entre ellas dos tercios son de madera.

El 24 % son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera.

El 28 % son verdes, de las cuales la mitad son de madera.

Considerando los sucesos $B =$ «ser blanca», $R =$ «ser roja», $V =$ «ser verde» y $M =$ «ser de madera»:

a) Indicar cuáles son los valores de $P(M/B)$, $P(M/R)$ y $P(M/V)$. [0,3 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. [0,7 puntos]

c) Si solo se sabe que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? [1 punto]

$\textbf{a) Indicar cuáles son los valores de } \boldsymbol{P(M/B)}\textbf{, } \boldsymbol{P(M/R)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(M/V)}\textbf{. [0,3 puntos]}$

Las proporciones de madera están referidas a cada color, de modo que son probabilidades condicionadas y se leen directamente del enunciado:

$P(M/B)=\dfrac{2}{3} \qquad P(M/R)=\dfrac{3}{4} \qquad P(M/V)=\dfrac{1}{2}$

Los porcentajes de color, en cambio, son probabilidades sin condicionar, y los tres colores forman un sistema completo de sucesos:

$P(B)=0{,}48 \qquad P(R)=0{,}24 \qquad P(V)=0{,}28$



$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. [0,7 puntos]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en madera, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(B)\,P(M/B)+P(R)\,P(M/R)+P(V)\,P(M/V)$

$P(M)=0{,}48\cdot\dfrac{2}{3}+0{,}24\cdot\dfrac{3}{4}+0{,}28\cdot\dfrac{1}{2}$

$P(M)=0{,}32+0{,}18+0{,}14=0{,}64$

La probabilidad de que la bola extraída sea de madera es $0{,}64$.

$\textbf{c) Si solo se sabe que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? [1 punto]}$

La condición es ahora el material y la pregunta, el color: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(B/M)=\dfrac{P(B\cap M)}{P(M)}=\dfrac{P(B)\,P(M/B)}{P(M)}=\dfrac{0{,}32}{0{,}64}$

$P(B/M)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$

Sabiendo que la bola es de madera, la probabilidad de que sea blanca es exactamente $\dfrac{1}{2}$: la mitad de las bolas de madera de la caja son blancas.