Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un club deportivo, el 55 % de los socios son hombres y el 45 % mujeres. Entre los socios, el 60 % de los hombres practica la natación, así como el 40 % de las mujeres.

a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. [1,25 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$H\equiv$ el socio es hombre; $M\equiv$ el socio es mujer; $N\equiv$ el socio practica la natación.

Los dos primeros forman un sistema completo de sucesos, y los porcentajes de nadadores están referidos a cada sexo, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(H)=0{,}55 \qquad P(M)=0{,}45$

$P(N|H)=0{,}60 \qquad P(N|M)=0{,}40$



Sumamos las dos ramas que acaban en natación, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(H)\,P(N|H)+P(M)\,P(N|M)=0{,}55\cdot 0{,}60+0{,}45\cdot 0{,}40$

$P(N)=0{,}33+0{,}18=0{,}51$

La probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación es $0{,}51$.

$\textbf{b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,75 puntos]}$

La condición es ahora la natación y la pregunta, el sexo: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(M|N)=\dfrac{P(M\cap N)}{P(N)}=\dfrac{P(M)\,P(N|M)}{P(N)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}51}$

$P(M|N)=\dfrac{6}{17}\approx 0{,}353$

Sabiendo que la persona practica la natación, la probabilidad de que sea una mujer es $\dfrac{6}{17}\approx 0{,}353$, algo menos que el $45\%$ que representan las mujeres en el club, porque entre ellas la proporción de nadadoras es menor.